數學的生命在於不斷變換，憑藉變換群充分發掘數學各部分的內在聯繫並獲得應用實效.變換不但是解答難題的銳利武器，而且在現代數學理論中也發揮著巨大作用.
某些平面幾何問題，由於圖形中的幾何性質比較隱晦，條件分散，題設與結論間的某些元素的相互關係在所給的圖形中不易發現，使之難以思考而感到束手無策.如果我們能對圖形作各種恰當的變換，把原圖形或原圖形中的一部分從原來的位置變換到另一個位置，或作某種變化，往往能使圖形的幾何性質明白顯現，分散的條件得到匯聚，就能使題設和結論中的元素由分散變為集中，相互間的關係變得清楚明瞭，從而能將求解問題靈活轉化，變難為易.我們把這種恰當地進行圖形變換來求解平面幾何問題的方法稱為幾何變換法.
將幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.平面幾何中的幾何變換主要有合同變換、相似變換、等積變換以及反演變換.
在一個幾何變換下，如果任意兩點之間的距離等於變化後的兩點之間的距離，則稱之為合同變換.合同變換隻改變圖形的相對位置，不改變其形狀和大小.合同變換有三種基本類型：平移變換，軸反射變換，旋轉變換.而尤為突出的是圍繞著旋轉變換產生的最值問題，是考試考查的重難點．不少同學對於此類問題，很畏懼感覺束手無策，沒有有效的解題思路和方法．
典型考題
1.平面直角座標系中，C（0，4），K（2，0），A為x軸上一動點，連接AC，將AC繞A點順時針旋轉90°得到AB，當點A在x軸上運動，BK取最小值時，點B的座標為______．
先來具體分析條件，併產生“合理想象”：
①旋轉可得等腰三角形，旋轉90°可得等腰直角三角形，本題如果從B引X軸的垂線，就可以得到“一線三等角”全等；
②關注題中的數據，有很多直角三角形，計算考慮使用勾股定理；
③幾何最值，常常需要考慮“垂線段最短”等幾何依據；
④如果數量關係是一元二次形式，考慮配方法求最值；
⑤幾何最值，幾何處理常常要有“軌跡”意識，哪些點是“主動點”哪些是“從動點”，進一步升格到“種瓜得瓜種豆得豆”的“因果處理”……
方法1：設A（a,0），BD⊥x軸，“一線三等角”染色三角形全等，AD=OC=4,繼而可以表示AK=2-a;而KD=AD-AK=2+a.在直角三角形△BDK中，勾股定理表示出BK=BD+DK,配方法可以得到當a=-1時，BK取最小值。再作出a=-1時的圖形，求出B點座標即可。
方法2：處理幾何最值問題，大多是動點涉及軌跡，就是一定要有“軌跡思維”！明白圖形“因何而動”，“誰主動”“誰被動”！
①顯然本題，由於A點在X軸動來動去，從而帶動AC動，AC旋轉得AB從而引發AB“被動”，
②繼而最終引發BK的“動”，且BK有最小值。
③而K是不動死點，所以最終我們要關注B點是怎樣“動”的。
④而這一切都源於始作俑者A點的“動”，所以A點和B點是“父子關係”——種瓜得瓜種豆得豆！
⑤A點在X軸動，A點的軌跡是“直線”，所以“父子影隨關係”可知B點軌跡也應該是“直線”！這就是“瓜豆原理”，“軌跡遺傳”！
⑥根據上述分析，結合上圖，可以確定B點的軌跡是直線。需要明確，如何求出這條直線的解析式呢？我們知道“兩點確定一條直線”，只需要算出兩個“特殊點”的座標即可：
⑦萬事俱備，利用“垂線段最短”，當KB⊥軌跡線時候，KB最短。
⑧由此，B點“定位”處理到位了，剩下的就是“定量”計算求B點座標了，根據軌跡直線y=x-4,它的“斜率為1”與軸夾角45°，很容易計算B點座標為（3，-1）.
詳細規範解法如下：
【解】：如圖，作BH⊥x軸於H．
∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，
∵AC＝AB，∵AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，
∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，
∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，
∴點B在直線y＝x﹣4上運動，設直線y＝x﹣4交x軸於E，交y軸於F，
作KM⊥EF於M，則直線KM的解析式為y＝﹣x+2，
由y=-x+2, y=x-4，聯立方程組解得x=3,y=-1.，∴M（3，﹣1），
根據垂線段最短可知，當點B與點M重合時，BK的值最小，此時B（3，﹣1），故答案為：（3，﹣1）
方法點睛：通過構造旋轉型全等，實現了"從哪兒來，回哪兒去"的目的，使問題得到轉化，思路變得清晰。
變式．（2019春•江都區校級月考）如圖，在平面直角座標系中，點A的座標為（0，3），點B為x軸上一動點，以AB為邊在AB的右側作等腰Rt△ABD，∠ABD＝90°，連接OD，則OD+AD的最小值是_____．
【解析】如圖，作DH⊥x於H，利用全等三角形的判定與性質證明點D在直線y＝x﹣3上運動，O關於直線y＝x﹣3的對稱點E′，連接AE′，求出AE′的長即可解決問題．
∵∠AOB＝∠ABD＝∠BHD＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠DBH＝90°，∴∠BAO＝∠DBH，
∵AB＝DB，∴△ABO≌△BDH（AAS），∴OA＝BH＝3，OB＝DH，
∴HD＝OH﹣3，∴點D在直線y＝x﹣3上運動，
作O關於直線y＝x﹣3的對稱點E′，連接AE′交直線y＝x﹣3於D′，此時OD+AD最小，最小值為AE′，
∵O（0，0），O關於直線y＝x﹣3的對稱點為E′，∴E′（3，﹣3），
∵A（0，3），∴AE′＝3√5，∴OD+AD的最小值是3√5，故答案為：3√5．
2．（2019秋•潛江期末）如圖，邊長為24的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連結MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連結HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
【解析】取CB的中點G，連接MG，根據等邊三角形的性質可得BH＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根據旋轉的性質可得MB＝NB，然後利用"邊角邊"證明△MBG≌△NBH，再根據全等三角形對應邊相等可得HN＝MG，然後根據垂線段最短，當MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，此時∠BCH＝1/2×60°＝30°，CG＝1/2AB＝1/2×24＝12，∴MG＝1/2CG＝1/2×12＝6，
∴HN＝6，故選：B．
3．（2019秋•樂清市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是_______.
【解析】如圖連接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，根據旋轉不變性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，∴PC＝1/2A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值為3（此時P、C、M共線）．故答案為：3．
4．（2019秋•崇川區校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠C＝60°，M是線段BC的中點，將△MDC繞點M旋轉，當MD（即MD'）與AB交於點E，MC（即MC′）同時與AD交於點F時，點E、F和點A構成△AEF．在此過程中，△AEF的周長的最小值________.
【解析】過點D作DP⊥BC於點P，過點A作AQ⊥BC於點Q，得到CP＝BQ＝1/2AB，CP+BQ＝1/2AB＝2，得出BC＝2CD，由點M是BC的中點，推出CM＝CD，由∠C＝60°，根據等邊三角形的判定即可得到答案；△AEF的周長存在最小值，理由是連接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，推出∠BME＝∠AMF，證出△BME≌△AMF（ASA），得出BE＝AF，ME＝MF，推出△EMF是等邊三角形，根據MF的最小值為點M到AD的距離2√3，即EF的最小值是2√3，即可求出△AEF的周長．
△AEF的周長＝AE+AF+EF＝AB+EF，△AEF的周長的最小值為4+2√3，
故答案為：4+2√3．
5．（2019秋•漢陽區期中）如圖，等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝DE，AC＝2CD＝12，DH⊥AE，垂足為H，直線HD交BE於點O．將△CDE繞點C順時針旋轉，則OA的長的最大值是________．
【解析】：如圖，延長ED到N，使得DN＝DE，連接CN，BN，延長BN交AE於M．取BC的中點F，連接AF，OF．
∵CD⊥EN，DN＝DE，∴CN＝CE，
∵DC＝DE，∠CDE＝90°，∴∠DCE＝∠DCN＝45°，
∴∠ACB＝∠NCE＝90°，∴∠BCN＝∠ACE，
∵CB＝CA，CN＝CE，∴△BCN≌△ACE（SAS），∴∠BNC＝∠AEC，
∵∠BNC+∠CNM＝180°，∴∠CNM+∠AEC＝180°，
∴∠ECN+∠NME＝180°，
∵∠ECN＝90°，∴∠NME＝90°，
∵DH⊥AE，∴∠NME＝∠DHE＝90°，∴OD∥BN，
∵DN＝DE，∴OB＝OE，
∵BF＝CF，∴OF＝1/2EC，
∵CD＝DE＝6，∠CDE＝90°，∴EC＝6√2，∴OF＝3√2，
在Rt△ACF中，∵AC＝12，CF＝6，
∴由勾股定理可求得AF＝6√5，
∵OA≤AF+OF，∴OA≤6√5+3√2，
∴OA的最大值為6√5+3√2．故答案為6√5+3√2．
6．（2019秋•郾城區期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D為AC中點，E為AB上的動點，將ED繞點D逆時針旋轉90°得到FD，連CF，則線段CF的最小值為______．
【解析】：如圖所示，過F作FH⊥AC於H，則∠A＝∠DHF＝90°，
∵AC＝8，D為AC中點，∴AD＝4，
由旋轉可得，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠FDH＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，
∴∠ADE＝∠DFH，且DE＝DF，∠A＝∠DHF＝90°，
∴△ADE≌△HFD（AAS），
∴HF＝AD＝4，∴當點H與點C重合，
此時CF＝HF＝4，∴線段CF的最小值為4，故答案為：4．
7．（2019秋•青山區期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D為邊AB上一動點（不與B點重合），連接CD，將線段CD繞著點D逆時針旋轉90°得到DE，連接BE，則S△BDE的最大值為________．
【解析】：作CM⊥AB於M，EN⊥AB於N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，
在△EDN和△DCM中，∠DEN＝∠CDM，∠END＝∠DMC＝90°，ED=DC.
∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，
方法總結
動點問題要求考生運用函數、數形結合、方程、轉化、分類等數學思想方法，通過觀察、猜想、推理、計算等過程，尋求解題思路.動態思想對這類問題的處理至關重要，對學生最核心的要求是結合動態中的靜止狀態進行分類處理，通過對動態的掌握，尋找不同變量彼此間的內在聯繫，在靜態條件下對這些內在聯繫進行分析.
反思：旋轉型全等的前提是，同一頂點發出四條線段，有兩組相等線段且相等線段的夾角相等，此類問題一般給出的是一個等邊或等腰直角三角形，也就是頂點處只有一組相等線段，所以只需要將頂點處的另一條線段按照同樣的方式旋轉。構造出一對旋轉型全等，利用全等的性質，將已知和待求的線段進行轉換，是問題得以解決。
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