今天我们讲解一道CIE Further Mathematics Paper1 2018年的真题，值得一提的是本题中将需要把同样的一个知识点反复使用，考察了学生能否透彻的理解原理。
■ 首先我们来看题目的内容：
第一问比较明显，需要用到在P3中学习过的Integration by parts的技巧，直接套用公式
即可得到
这里需要再次用到Integration by parts的技巧，将后面的式子化回到Ⅰ的形式
等式两边都除以2后可得到所需结果。
注意在本题中，第一次Integration by parts时，无论是假设
或是
都可以继续进行，只要再次Integration by parts后把后面的式子化成Ⅰ的表达式即可。
■ 接下来是第二题，所占分值最重（6分），因此也是最复杂的一题。
我们注意到，所需要证明的式子仍然是Ⅰ的表达式，所以我们还是需要用在FP2中学到的Integration using reduction formulae。
而这个技巧其实就是反复使用Integration by parts。这次所需的表达式中cosx的指数从原式中的n变为了n-2，所以我们要将cosx进行微分，在Integration by parts的公式中将
代入后，我们将得到如下式子：
用同样的方法再次积分，我们将得到：
化简后，等式两边都乘以4即可得到所需结果
证明完第一部分，我们需要继续化简该式子来得到第二部分的内容。
注意到，所需答案中的三角函数部分都被化简了，因此我们需要从最好化简的
入手，利用公式
可得
注意到右半部分等式的积分部分可化为
所以
证明完毕。
■ 第三问中，题目已经告诉我们需要使用第一部分和第二部分的结果来解题。那么题目中的
我们可以化成第二问中的Ⅰ的表达式，即
再结合第二问的结果，我们将得到
我们需要根据这个结果算出y的平均值
以上就是本次的真题讲解了，比较明显的一个特点是本题中所需的知识点并不太多，但需要大量的Integration计算，稍不留神就可能出错。
同学们在考试时需要仔细检查，证明题的话根据结果反推来检查也是一种很好的方法哦~
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