數學家絕大多數都非常低調，除了數學方面的驚人之舉，在其它領域有好的表現不多。阿基米德可能是數學家中最有人格魅力，最有氣場的一位。只可惜對自己的氣場太過自信，面對虎視眈眈的羅馬士兵，竟然回答等我思考好這個問題再跟你走，最後鑄成悲劇，死在了羅馬士兵的屠刀下。
大家好，偉崗今天給大家談談阿基米德的故事，雖然已經過了幾千年了，這些故事還是有閃光之處。
文章開始偉崗還是感謝各位朋友同學的鼓勵打賞！謝謝了！
阿基米德可能是文獻流傳至今最多的古希臘科學家，這也許跟他的名氣有關。他的：《圓的度量》，：《論球與圓柱》，《拋物線圖形求求積法》，《論螺線》，《平面圖形的平衡或其重心》等都傳到了今天，這個非常不容易。江湖上流傳他的故事更加千奇百怪，似乎阿基米德是個神人。
不過從數學上講，阿基米德最大的貢獻應該是嚴格證明了圓面積公式。這個證明可以說是人類歷史上比較早有記錄的，描述運動變化物體的例子，而且證明非常完美，堪稱希臘幾何的典範，所以其意義非常重大。
我們前面說過，數學在微積分之前，最大的侷限性就是連續變化的物體性質沒有辦法描述。這是因為，一方面數字是離散的，另一方面也許跟我們的思維方式有關。
人類雖然有眼睛可以觀察到連續變化的事物，但是思維就不可能在每一個瞬間都有記錄。這是什麼意思呢？這個意思就是說，我們的思維是間斷的，每個時間點只能想一件事情，不可能有連續的思維模式。我們看電影之所以是連續的圖像，就是利用所謂視覺暫存，思維來不及處理很多信息，只能暫緩，這樣間斷的圖像就變成連續了。反過來也一樣，連續的圖像，我們其實是把它變成間斷的圖像處理的。所以，從人的思維角度出發，事實上是人想象出來連續事物的連續變化，並不是我們思維真正趕上了連續的事物。
從思維這個意義上講，我們數學怎麼突破這個間斷於連續矛盾的瓶頸呢？這個困擾了數學家差不多上千年。問題最佳的描述也是古希臘人給出的，那就是所謂的芝諾悖論。
芝諾悖論有四個故事，第一個是所謂二分法悖論。說得是，你想從A點到B點，很明顯你必須先到達A，B的中點C點。但是你想到達C點，又必須先到達A，C的中點D點。這樣循環下去，由於中點有無窮多個，你似乎永遠也到達不了B點，而是在無窮箇中點之間遊蕩！當然，這是不可能的，你最終肯定是到達了B點，除非你中途停下來。這樣就產生了一個悖論，問題出在哪裡呢？
第二個故事就是我們前面提到過的，阿喀琉斯跟烏龜賽跑的故事。按照這個悖論，雖然明顯阿喀琉斯比烏龜跑得要快的多，但是隻要烏龜在起跑時領先哪怕只有1米，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！
芝諾是這樣敘述他的悖論的：阿喀琉斯在A點，烏龜在B點，阿喀琉斯跑向烏龜，目的是追上烏龜。可是一個問題出現了，當阿喀琉斯到達B點時，烏龜又前進到了C點，而阿喀琉斯追到C點時，烏龜又前進到了D點，這樣下去分析，似乎阿喀琉斯永遠也追不上烏龜！但是有常識的人都知道，阿喀琉斯很快就追上了烏龜！這個悖論又怎麼解釋呢？
芝諾的第三個悖論稱為“飛矢不動悖論”。拿現在的話說就是射出的箭實際上是靜止的悖論。這也有悖常理。
芝諾是這樣說的：任何一個東西呆在一個地方，那它肯定不是在運動。那麼飛速運動的箭顯然在一個固定的瞬間是呆在某一固定位置的，那麼這個射出的箭是不是就不是在運動，而是靜止的？這個悖論也值得玩味，雖然它違背常識，但要搞懂它也還是要經過深思。
芝諾的第四個悖論是針對時間具有最小單位的斷言。有三個人，在一條直線的三個點依次是A,B,C三點。讓A點的人和C點的人一起一個向左，一個向右移動一個時間單位的距離，這樣A點的人距離C點的人就增加了2個時間單位的距離。這就意味著如果要求A點和C點的人只是多增加一個時間單位的距離，那麼只需要兩個人同時移動半個時間單位的距離就夠了。但是時間單位有最小值，怎麼能有半個最小值的時間單位呢？這也是一個悖論。那麼時間是不是沒有最小單位呢？這在數學上也是一個難題，時間是可以用數字表示的，如果時間沒有最小單位，那你怎麼去表達這個沒有最小單位的量呢？這一切看似結論非常奇葩，但是你要用數學的理論去化解它，還真不是那麼容易。
我們中國古代也有莊子的所謂“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”。不過後人似乎把這句話當做一個玄學的預言，沒有真正地用科學的態度思考這個問題，所以中國歷史後續就沒有關於這句話的故事和思考了。
你仔細品味上面這些例子，你會覺得要陷入思維陷阱，似乎問題不可能被解決。
這些問題的解決，不是靠哲學家，雖然上面的例子有很多哲學的意味。靠的是數學家。所以說你不佩服數學家的天才還不行。
偉崗前面寫過，這個問題最終是靠微積分來解決的。數學家的思維是這樣的。雖然不可能用數字表示所有連續變化物體的性質，這是因為數字是離散的。不過如果我們能夠求出任何瞬間物體性質的量，我們就解決了描述連續變化物體的問題。這句話怎麼解釋呢？
其實我們並不需要列出一個針對連續變化物體性質的表，我們只要列出任何你想要的瞬間這個性質是多少就可以了。打個比方，對於一個行走中的人，我們並不需要有一個這個人連續變化的速度和什麼時間到了什麼地點的連續信息，我們只需要求出任何時間點人在哪裡，他任何時間點的速度是多少就可以了。也就是說由問問題的一方決定，你想知道這個人什麼時刻在哪裡，我們就可以求出並告訴你答案，這樣就解決連續變化物體性質的描述問題。
針對芝諾悖論我們也一樣，我們不去解釋阿喀琉斯為什麼追不上烏龜這個悖論，但是我們可以告訴任何有疑問的人，阿喀琉斯什麼時候追上了烏龜，以及任何瞬間阿喀琉斯跟烏龜的距離。這個就是微積分的思路。
如果你硬要追問為什麼阿喀琉斯追上了烏龜，那這個就是哲學問題了，數學家回答不了你。數學家能給你的，只能是一個科學有邏輯的答案，不可能是終極答案，這一點大家心裡要十分清楚。
當然微積分不是憑空想出來的，它也有前生，一般數學史專家都認為微積分的前生是窮竭法，而阿基米德關於圓面積公式的證明就是用的窮竭法。
在瞭解阿基米德圓面積公式證明過程之前，我們先要知道兩個事實。第一個就是圓周長跟直徑的比是個常數，這就是我們所知道的圓周率π。π是常數早在古巴比倫時期（公元前1600年）以及古埃及時期（差不多也是公元前1600年左右）人們就知道了。人們的很多精力都花在計算π的值上。這一點我們中國人也可以說在數學史上冒了個泡，那就是祖沖之的圓周率計算。那是在南北朝，公元460年左右。
古人那麼熱衷於計算π，主要是很多應用場景都要用到這個值。日常建築，劃分土地等，甚至古代的天文學都需要π的值。這不奇怪，可以說凡是涉及弧形的計算都要用到π。
如果你較真，問有沒有人證明了圓周率是個常數？這個問題還不好直接回答。一般而言，在古代大家認可π是常數。由於π是無理數，古代人估計很難嚴格證明π是常數，因為初等的方法找不到π的計算公式。
不過現代數學家用分析的方法找到了π的很多級數展開公式，這些公式都跟具體的圓和直徑無關，所以可以說這些公式都是圓周率是常數的嚴格證明（因為不管什麼圓，圓周率都是由一個公式決定，所以它是常數）。
懂了圓周率，你還要知道這個事實，在幾何原本裡有個嚴格的證明，那就是兩圓的面積之比等於它們直徑平方的比。這個在幾何原本卷十二的命題二。用的方法也是窮竭法。證明相當複雜，偉崗這裡就不詳述了，大家有興趣可以查查幾何原本。
有了前面兩個預備知識，阿基米德就可以求出他的圓面積公式了。由上面，兩圓的面積之比等於它們直徑平方的比，可以得出圓的面積跟直徑平方的比是一個常數。現在關鍵是要找出這個常數。有了這個常數，圓的面積公式就有了，也就是這個常數乘以直徑的平方。
那麼阿基米德是怎樣利用上面兩點得出圓面積公式的呢？這個篇幅也有點長，還是留到下一篇我們再談吧。
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