思維能力培養非一朝一夕之功，需老師於每一堂課每一道題每一個知識點之中滲透、引導、點化。人的理性雖然與生俱來，但往往是潛藏不露的，仍需老師引導、發掘、訓練。未經訓練的人多依賴直覺和感性，憑記憶和習慣做決定，缺乏批判精神和理性思維。學生的思維方式和思考習慣要及早培養，一旦形成不良思維定勢要想改變將事倍功半。如解題時第一反應應該是分析與推理，而不是回憶與模仿。回憶與模仿是活在過去，屬於固定型思維，分析與推理是活在當下，屬於成長型思維。
問題是培養思維的基本工具，本文以一道經典題為例帶你探討如何用好一道題，充分發掘它在知識理解和思維方法諸方面的多種作用，達到以一敵百一通百通之效。
【原題】
已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC邊上的一點，MN⊥AM.
求證：AM＝MN
【一、題中有法】
解題總策略：加減、進退、分合、動靜。
策略口訣：少則加之，多則減之，能進則進，難進則退，分析解構，整合組塊，以動破靜，以靜制動。
1.加法：少則加之，圖中有部分全等條件，將之添加補全即可得證。
法（1）：如下圖，添加AC'=CM，得ΔMCN≅ΔAC'M。
法（2）：作NF⊥CE，由∠FCN=45°得CF = NF，由∠B=∠NFM=90°得ΔABM∽ΔMFN，再由之繼續推導，如下圖。
2.動法：以動破靜。
法（3）：由條件MN⊥AM，結論MN=AM，知其所在全等三角形是旋轉90度。如下圖所示：
我們可以換個旋轉中心，將ΔMCN繞點M逆時針旋轉90度，如下圖，作MC'⊥AC即可證ΔMCN≅ΔMC'A。
法（4）：再換個旋轉中心，將ΔMCN繞點C逆時針旋轉90度，如下圖，可證由ΔMCN≅M'CN'再證四邊形AMM'N'是平行四邊形（兩組對邊平行）。
法（5）：再換個旋轉方向，將ΔMCN繞點C順時針旋轉90度，如下圖，可證由ΔMCN≅M'CN'再證四邊形AMN'M'是平行四邊形（兩組對邊平行）。
法（6）：再用翻變換，如下圖，考慮到延長AC後，CE平分∠NCN'，把△MCN沿ME翻折，可證等腰△AMN'（AM=MN'）。
法（7）：與上圖相對應，考慮到延長NC，CB平分∠ACA'，把△ABM沿BC翻折，可證等腰△MA'N（MN=MA'），如下圖。
法（8）：把ΔABM逆時針旋轉90°，再作M'N∥BC、M'A'∥MN、M'C'∥CN，由∠A'=∠CMN=∠BAM得∠ΔABM∽ΔA'BM'，且有平行四邊形MNM'A'，CNM'C'，CM=A'C'，推導如下。
法（9）：若把ΔABM旋轉如下圖（注意因為沒有等線，不可以直接旋轉，應作平行線B'M、B'N），請讀者自行推導。
3.進法：能進則進。
法（10）：從∠AMN=90°前進，構造直角三角形，應用勾股定理。
4.合法：整合組塊。
法（11）：連接AC、AN，出現四點共圓基本模型，由∠AMN=∠ACN=90°，知A、M、C、N四點共圓，易得∠ANM=∠ACB=45°，得AM=MN。
【
二、題中有題】原題還能延伸出其它相關問題嗎？
1.條件置換：把條件作對等變換，如線段上的點運動到其延長線上，正方形變為正三角形等。
（1）圖形中點M是BC邊上的動點，把M點的運動位置變換到BC的延長線上（如下圖），結論還成立嗎？上面的方法還能應用嗎？
（2）繼續把M點的位置變換到B點的左側時（如下圖），還成立嗎？
嘗試發現，不管是結論還是作輔助線的方法都完全一樣，證明過程也基本相同。
（3）把正方形變成正三角形。
已知：CN平分正三角形ABC的外角∠ACE，M是BC邊上的一點，∠AMN=60°.
求證：AM＝MN
若把正方形變成其它正多邊形同樣成立。
2.條件疊加：附加其它條件和問題，使問題信息容量加大，綜合性更強。
（4）如下圖，連結AN交CD於F，連結MF，還可以得到哪些新的結論？
容易想到∠MAN＝∠MNA＝45°，再看有沒有包含已做過的圖形？MF與BM、DF有什麼關係？
請解答：添加條件“正方形邊長為4，DF=1，求BM的長。“
3.條件弱化：把條件的特殊性去掉，使之更一般化。
（5）猜想：AM=MN是因為正方形的條件使圖中存在全等關係，那麼正方形改為矩形，AM與MN還能保持相等嗎？CN平分∠DCE需要改變嗎？
題目原圖實質是等腰直角ΔABC進行相似變換得ΔAMN，由一轉成雙相似模型可推得ΔACN∽ΔABM，因此∠ACN=∠ABM=Rt∠，這是圖形的根本特徵，正方形條件只是提供了等腰直角ΔABC，D點擦去也無關緊要。
自然得出：如“正方形”變成“矩形”，“等腰直角ΔABC”中“等腰”的特殊性就沒有了，就會變成把“直角ΔABC”進行相似變換，如下圖，題目變為：
已知：矩形ABCD中，BC=2AB，M是BC邊上的一點，AM⊥MN，AC⊥CN.
求證：MN＝2AM
再看證明方法，前面的方法可以再一次使用：作MF∥AC，構造相似三角形。
還有更簡單的方法：作以AN為直徑的輔助圓。如下圖：
（6）把M點的位置擴展到直線BC上，仍然成立。
題目中D點是多餘的，可以把題目精簡為：
已知：ΔABC中，∠B=90°，BC=2AB，M是直線BC邊上的一點，AM⊥MN，AC⊥CN.
求證：MN＝2AM
（7）繼續一般化：
已知：ΔABC中，BC=nAB，M是直線BC邊上的一點，∠B=∠AMN=∠ACN.
求證：MN＝nAM
【三、題中有理】
哲學思考是對世界的深度認識，解決問題的過程中可以體驗並感悟事物變化規律及其蘊含的哲理，培育理性精神和處事智慧。
上圖體現了事物的普遍聯繫，由MN⊥AM可知全等三角形的三組對應邊都是垂直關係，整個三角形是旋轉90度的關係。
下圖是ΔMCN繞M點旋轉90度。
下圖是ΔMCN繞C點旋轉90度。
下圖是ΔMCN沿ME翻折。
以上可以體現事物是在運動變化過程中產生聯繫的，並且運動方式是多種多樣的。
下圖可以看成是ΔMCN繞CM的中點旋轉180度，也可以看成是ΔABM繞B點旋轉90度，體現了系統結構中發展變化的和諧統一。
下圖是構造輔助圓，把相關元素集中到同一圓中，證法簡潔漂亮。圓具有最完美的對稱性，圓中的元素能產生豐富而緊密的聯繫，因此使問題清晰明瞭易解。
下圖把M點運動到BC的延長線上，結論與方法不變。
下圖把正方形換成正三角形，結論與方法不變。
以上可以體現同類事物的一致性和相容性。
下圖把正方形變成矩形甚至變成一般三角形，條件變化導致結論進行了相應變化，但換個角度看所變各題與原題的內在邏輯仍有共性：比值相等，保持AM：MN=AB：BC（正方形鄰邊比是1：1，矩形鄰邊比是1：n）。
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