摘要：升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要，但是電感值的選擇並不總是像通常假設的那樣簡單。在dc-dc升壓轉換器中，所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態響應。選擇正確的電感值有助於優化轉換器尺寸與成本，並確保在所需的導通模式下工作。
升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要，但是電感值的選擇並不總是像通常假設的那樣簡單。在dc - dc升壓轉換器中，所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態響應。選擇正確的電感值有助於優化轉換器尺寸與成本，並確保在所需的導通模式下工作。本文講述的是在一定範圍的輸入電壓下，計算電感值以維持所需紋波電流和所選導通模式的方法，並介紹了一種用於計算輸入電壓上限和下限模式邊界的數學方法，還探討了如何使用安森美半導體的WebDesigner™在線設計工具來加速這些設計步驟。
Conduction Mode
導通模式
升壓轉換器的導通模式由相對於直流輸入電流（IIN）的電感紋波電流峰峰值（ΔIL）的大小決定。這個比率可定義為電感紋波係數（KRF）。電感越高，紋波電流和KRF就越低。
(1) ， 其中
(2)
在連續導通模式（CCM）中，正常開關週期內，瞬時電感電流不會達到零（圖1）。因此，當ΔIL小於IIN的2倍或KRF <2時，CCM維持不變。MOSFET或二極管必須以CCM導通。這種模式通常適用於中等功率和高功率轉換器，以最大限度地降低元件中電流的峰值和均方根值。當KRF > 2且每個開關週期內都允許電感電流衰減到零時，會出現非連續導通模式（DCM）（圖2）。直到下一個開關週期開始前，電感電流保持為零，二極管和MOSFET都不導通。這一非導通時間即稱為tidle。DCM可提供更低的電感值，並避免輸出二極管反向恢復損耗。
圖1 – CCM 運行
圖2 – DCM 運行
當KRF = 2時，轉換器被認為處於臨界導通模式（CrCM）或邊界導通模式（BCM）。在這種模式下，電感電流在週期結束時達到零，正如MOSFET會在下一週期開始時導通。對於需要一定範圍輸入電壓（VIN）的應用，固定頻率轉換器通常在設計上能夠在最大負載的情況下在指定VIN範圍內，以所需要的單一導通模式（CCM或DCM）工作。隨著負載減少，CCM轉換器最終將進入DCM工作。在給定VIN下，使導通模式發生變化的負載就是臨界負載（ICRIT）。在給定VIN下，引發CrCM / BCM的電感值被稱為臨界電感（LCRIT），通常發生於最大負載的情況下。
紋波電流與VIN
眾所周知，當輸入電壓為輸出電壓（VOUT）的一半時，即佔空比（D）為50％時（圖3），在連續導通模式下以固定輸出電壓工作的DC－DC升壓轉換器的電感紋波電流最大值就會出現。這可以通過數學方式來表示，即設置紋波電流相對於D的導數（切線的斜率）等於零，並對D求解。簡單起見，假定轉換器能效為100％。
根據
(3)、
(4) 和
(5),
並通過CCM或CrCM的電感伏秒平衡
(6),
則
(7).
將導數設置為零,
(8)
我們就能得出
(9).
圖3 – CCM中的電感紋波電流
CCM工作
為了選擇CCM升壓轉換器的電感值（L），需要選擇最高KRF值，確保整個輸入電壓範圍內都能夠以CCM工作，並避免峰值電流受MOSFET、二極管和輸出電容影響。 然後計算得出最小電感值。KRF 最高值通常選在0.3和0.6之間，但對於CCM可以高達2.0。 如前所述，當D = 0.5時，出現紋波電流ΔIL最大值。那麼，多少佔空比的情況下會出現KRF最大值呢？ 我們可以通過派生方法來求得。
假設η = 100%， 則
(10),
然後將(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
(11)
(12).
對D求解，可得
(13).
D = 1這一偽解可被忽略，因為它在穩態下實際上是不可能出現的（對於升壓轉換器，佔空比必須小於1.0）。因此，當D =⅓或VIN = ⅔VOUT時的紋波因數KRF最高，如圖4所示。使用同樣的方法還能得出在同一點的最大值LMIN、LCRIT和ICRIT。
圖4 – 當D =⅓時CCM紋波係數KRF最高值
對於CCM工作，最小電感值（LMIN）應在最接近⅔ VOUT的實際工作輸入電壓（VIN(CCM)）下進行計算。根據應用的具體輸入電壓範圍，VIN(CCM)可能出現在最小VIN、最大VIN、或其間的某個位置。解方程（5）求L，並根據VIN(CCM)下的KRF重新計算，可得出
(14)，其中VIN(CCM)為最接近⅔VOUT的實際工作VIN。
對於臨界電感與VIN 和IOUT的變化，KRF = 2，可得出
(15).
在給定VIN 和L 值的條件下，當KRF = 2時，即出現臨界負載（ICRIT）：
(16)
DCM工作
如圖5所示，在一定工作VIN和輸出電流（IOUT）下的電感值小於LCRIT時，DCM模式工作保持不變。對於DCM轉換器，可選擇最短的空閒時間以確保整個輸入電壓範圍內均為DCM工作。tidle最小值通常為開關週期的3％-5％，但可能會更長，代價是器件峰值電流升高。然後採用tidle最小值來計算最大電感值（LMAX）。 LMAX必須低於VIN範圍內的最低LCRIT。對於給定的VIN，電感值等於LCRIT（tidle= 0）時引發CrCM。
圖5 – LCRIT 與標準化VIN 的變化
為計算所選最小空閒時間（tidle(min)）的LMAX，首先使用DCM伏秒平衡方程求出tON(max)（所允許的MOSFET導通時間最大值）與VIN的函數，其中tdis為電感放電時間。
(17)，其中
(18)
可得出
(19).
平均（直流）電感電流等於轉換器直流輸入電流，通過重新排列（17），可得出tdis相對於tON的函數。簡單起見，我們將再次假設PIN = POUT。
(20) ，其中
(21).
將方程(3)、(5)、(10)、(19)和(21)代入(20)，求得VIN(DCM)下的L
(22).
LMAX遵循類似於LCRIT 的曲線，且同在VIN = ⅔VOUT時達到峰值。為確保最小tidle，要計算與此工作點相反的實際工作輸入電壓（VIN(DCM)）下的最低LMAX值。根據應用的實際輸入電壓範圍，VIN(DCM)將等於最小或最大工作VIN。若整體輸入電壓範圍高於或低於⅔ VOUT（含⅔ VOUT），則VIN(DCM)是距⅔ VOUT最遠的輸入電壓。若輸入電壓範圍覆蓋到了⅔ VOUT，則在最小和最大VIN處計算電感，並選擇較低（最差情況下）的電感值。或者，以圖表方式對VIN進行評估，以確定最差情況。
輸入電壓模式邊界
當升壓轉換器的輸出電流小於ICRIT與VIN的最大值時，如果輸入電壓增加到高於上限模式邊界或下降到低於下限模式邊界，即IOUT大於ICRIT時，則將引發CCM工作。而DCM工作則發生於兩個VIN的模式邊界之間，即IOUT小於ICRIT時。要想以圖表方式呈現VIN下的這些導通模式邊界，在相同圖表中繪製臨界負載（使用所選電感器）與輸入電壓和相關輸出電流的變化曲線。然後在X軸上找到與兩條曲線相交的兩個VIN值（圖6）。
圖6 – 輸入電壓模式邊界
要想以代數方式呈現VIN的模式邊界，首先將臨界負載的表達式設置為等於相關輸出電流，以查找交點：
(23).
這可以重寫為一個三次方程，KCM可通過常數計算得出
(24) 其中
(25).
這裡，三次方程通式x3 + ax2 + bx + c = 0的三個解可通過三次方程的三角函數解法得出[1] [2]。在此情況下，x1項的“b”係數為零。我們將解定義為矢量VMB。
我們知道
(26)、
(27)、 以及
(28),
(29).
由於升壓轉換器的物理限制，任何VMB ≤ 0或VMB > VOUT的解均可忽略。兩個正解均為模式邊界處VIN的有效值。
模式邊界 – 設計示例
我們假設一個具有以下規格的DCM升壓轉換器：
VOUT = 12 V
IOUT = 1 A
L = 6 μH
FSW = 100 kHz
首先，通過（25）和（28）計算得出KCM和θ：
.
將VOUT和計算所得的θ值代入（29），得出模式邊界處的VIN值：
.
忽略偽解（-3.36 V），我們在4.95 V和10.40 V得到兩個輸入電壓模式邊界。這些計算值與圖7所示的交點相符。
圖7 – 計算得出的模式邊界
採用WebDesigner™ Boost Powertrain加速設計
對於不同的升壓電感值，手動重複進行這些設計計算可能會令人厭煩且耗費時間。複雜的三次方程也使輸入電壓模式邊界的計算相當繁瑣且容易出錯。通過使用安森美半導體的WebDesigner™等在線設計工具，就能更輕鬆並顯著地加速設計工作。 Boost Powertrain設計模塊（圖8）會自動執行所有這些計算（包括實際能效的影響），並根據您的應用要求推薦最佳電感值。您可以從廣泛的內置數據庫中選擇真正的電感器部件值，或者輸入您自己的定製電感器規格，立即就能計算得出紋波電流和模式邊界、及其對輸出電容、MOSFET、二極管損耗、以及整體能效的影響。
圖8 - WebDesigner™ Boost Powertrain
可點擊此處獲取WebDesigner Boost Powertrain設計工具。
結論
電感值會影響升壓轉換器的諸多方面，若選擇不當，可能會導致成本過高、尺寸過大、或性能不佳。通過了解電感值、紋波電流、佔空比和導通模式之間的關係，設計人員就能夠確保輸入電壓範圍內的所需性能。
參考文獻
[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.
[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.
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