【题记】
什么是深刻？所谓深刻就是面对真问题，坚持答案不标新立异，而在于合情合理，这就是我眼中的深刻。一句话，简单即深刻。
以当下把握未来，以课程超越课堂。我们要做的是丰富学生学习过程的知识；对学生的需求里当下的困难保持敏感性；在互动中产生丰富的细节和故事；对诗和远方的追求。
德行即知识。——苏格拉底
多年前，华应龙老师在杭州举办大型公开教学活动中执教的是《神奇的莫比乌斯圈》，很多拿到会议材料的老师（当然包括我）都感到诧异：这是一节什么课？莫比乌斯圈是什么？它又神奇在哪儿呢？
带着这样的心情，我们一同欣赏了这节课。以下是几个实录片断：
片断一：做纸圈
师：同学们喜欢看魔术吗？今天老师就给大家表演一个小魔术。（表演）
师：怎么样？今天我们也一起来玩一个魔术。请同学们拿出桌上的一张纸条，说说这张纸条有几个面？几条边？
生：有两个面，4条边。
师：现在，我们能把它变成两个面，两条边吗？请在小组中讨论，并尝试操作一下。（小组活动后交流）
生：我们只要把这张纸条对接起来，用胶水粘好，就变成两个面，两条边了。（边说边比划，做成了如下图所示的样子）
师：请同学们摸一摸两条边和两个面……这里的两条边有什么特点？两个面是平面还是曲面呢？
生：两条边都变成曲线了。
生：两个面都是曲面，一个在里面，一个在外面。
师：（又拿出一张同样的纸条）现在我这里有一张同样的纸条，我先扭一扭，旋转180°，再对接粘贴起来（教师的操作如下图所示）。
请同学们想一想，这里的纸圈会是几条边、几个面呢？
（同学们思考片刻）
生：还是两条边，两个面。
生：我想，可能是两条边，一个面。
生：既然老师要我们猜想，说明可能和原来完全不一样。我想可能是一条边、一个面吧。
（这时下面听课的老师也禁不住撕下记录本上的一页纸，做成纸圈，比划着，议论着，场上场下议论纷纷。）
师：好，现在请同学们跟我做一个这样的纸圈，然后沿着它的曲面的中线位置用笔画一条线，请大家试试，你发现什么啦？
（同学们做成莫比乌斯圈，并沿着中线画线）
生：我发现这条线一直画下去，与起点汇合了，说明它只有一个面。
生：我还发现我把这个纸圈的边上做了一个记号，并从这个记号开始一直用手摸下去，绕了一圈又到了做记号的地方，说明这个纸圈只有一条边。
师：为什么这个纸圈会变成一条边、一个面呢？
生：因为把纸条扭转180°后，两条边对接上了，正反两个面也连在一起了。
师：对!我们把原来没有扭转而对接起来的曲面叫做双侧面。而把这种扭转后对接的曲面叫做单侧面，这种单侧面的纸圈，叫做“莫比乌斯圈”，是由德国数学家莫比乌斯在1858年发现的。你可别小瞧这个纸圈，它的奇妙之处可不少哟。下面就一起来研究……
片断二：剪纸圈
师：现在，如果用剪刀沿莫比乌斯圈的中线剪开，猜一猜将变成什么样呢？
生：我想它会变成两个纸圈吧。
生：可能会变得一张长纸条了。
生：我想也是两个纸圈，而且两个纸圈套在一起。
生：是一个纸圈。
师：同学们很积极地进行猜想，值得表扬。现在大家一起剪一剪，看看到底是什么样子？
（学生早已跃跃欲试了，迫不及待地开始剪起来。下面的听课老师也饶有兴趣地尝试着。））
师：发现了什么？有什么感受？
生：我猜对了！原来真是变成了一个更大的纸圈！
生：不可思议，怎么会是这样的呢？！
……
师：好玩吧，还有更奇妙的呢。大家想不想试一试？
生：老师，快说吧，怎么玩呢？
师：好，今天我们就来上一堂疯狂的数学课！现在同学们的桌子还有一个纸条，现在我们把它沿纵向三等分，并把中间的一格涂上不同的颜色。（如下图）
然后像刚才一样，把它做成一个“莫比乌斯圈”。如果沿着它的其中一条等分线剪开，请你们猜一猜，要剪几次？结果会是怎样的呢？
……
（同学们又一次被激发，结果变成了大小两个纸圈，而且套在一起！意料之外，匪夷所思！！！同学们始终沉浸在猜想与探求的快乐中，并数学的神奇魔力深深吸引着，不知不觉一堂课就这样过去了。）
数学课原来可以这样上！这是我听完课的第一感受。
这是一堂不同寻常的课！整堂课中，学生在“猜想―验证―惊奇―猜想―验证－惊奇……”中一次又一次感受着数学的神奇魅力。
这是一次大胆的尝试！把这样的内容设计成一堂数学活动课，我佩服华老师敢于挑战新课程、新课堂、新教学的勇气!
英国教育家帕梅拉．利伯克所说：“人们偏爱数学是因为它非常有用，然而更重要是，对于我们特别是对于孩子来说其吸引力在于智力或美学上的满足。”
学生在数学学习过程中，学生在智力上或美学上真正理解了数学，体验了数学，保持对数学的浓烈兴趣，不断增强学习探索的内驱力。整堂课中，学生的学习兴趣被激发了，我们可以试想一下，学生感兴趣了，有欲罢不能的探求欲望了，我们还用发愁学生学不好数学，在课堂没有什么收获吗？
于是我想说：“没有学不好的学生，只有不好的教学设计！”
透过这堂课，它还告诉我们这样的信息；新课程、新教学、新课堂对教师提出了更高的要求，要求教师们广闻博览，用文化学的思想来观照数学教学，以心理学的思想来把握学生的学习心向，用“以人为本”的教育理念重视审视课堂，同时又要与新课程理念相吻合，这样才能设计出令学生喜欢、惊奇的数学活动课，让学生徜徉其中，收获多多。
由于对此课比较感兴趣，禁不住它的诱惑，我就华老师的教学进行一些小的改进和充实，并进行了教学尝试。
我改进的部分有开始部分、中间部分和结尾部分。开始部分是这样的：
①把那个长纸条的两面分别分成12个格子，正面从左到右依次写上：“从前有座山，山上有座庙，”。
②保持纸条下沿不离开桌面，手持纸条上沿将它从上面翻下来，在它的背面依次写：“庙里有个老和尚，他在讲：”。如下图：
正面：
背面：
③把这张纸条扭转180°，然后首尾对接，粘成莫比乌斯圈。如下图：
④把纸圈套在右手的食指上，向左边捋一捋，念一念，就成了：
“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：从前有座山，山上有座庙……”
师：请告诉我,你发现了什么？
生：我发现：顺着纸条上的字念下去，永远也念不完。
师：这说明什么？
生：这说明原来纸条的正面和反面连接起来了，就成了一个面！
师：对，以上所做的这个纸圈，是数学家名字命名的“莫比乌斯圈”。可别小看这个小小的纸带，虽然制作起来十分简单，却奇特得叫人不可思议。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中纸带上所写字的路线爬行（不经过纸的边沿），这只蚂蚁就可以一起爬遍纸带的两个面，而在普遍的没有旋转180度而粘贴的纸带上是不可能做到的。现在却可以轻而易举地做到了。请同学们重新做一个“莫比乌斯圈”，拿起笔，用笔尖代表蚂蚁，先在纸圈上做一个记号，再沿着纸圈的中线一直画下去，画完后告诉老师，你发现了什么？
生：（操作后）我发现蚂蚁兜了一圈，又回到了原来做记号的地方，也就是起点。
师：如果沿着这条中线剪下来，又会发现什么奇妙之处呢？请同学们先猜想一下，再剪一剪……
中间部分我补充了一个探究性操作：
按下图一在纸上剪下两个十字形，纸带宽约3厘米，长可15厘米左右，再在十字上分别画上两条虚线，并在有阴影的部分涂上胶水。然后，把两个十字形分别粘成图二、图三形状。注意图三中有一个纸圈扭了180°。如果把它们沿虚线剪开，想想看会是 什么样子，然后再剪剪看。
结束部分，华老师让学生说说“莫比乌斯圈”在日常生活中有哪些应用，同学们在课堂上说了不少，如有学生说可以利用它来做过山车，这样兜了一圈又会回到起点了；有的说……最后是华老师介绍了中国科学院门前的三叶结。
我要补充的是——
现在，这一成果已经在科技上得到了应用。如有一种电脑打印机（如AR－3200＋）用来打印文稿的色带就是根据这一原理做成的，这种色带是经过180度旋转后进行对接，这样可以使色带在打印中两面都得到充分利用，从而成倍地延长其使用寿命，大大节省了耗材（用实物投影仪展示的内部结构，突出显示扭转对接的部分）。你看它的设计多么巧妙啊！
有兴趣的同学可以自行猜想“莫比乌斯圈”的用途，再大胆设计，说不定还可以申请到专利呢。（本文曾发表于国家级刊物《中小学教材教学》）
好玩的数学
↑
好玩的数学以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。
↓
閱讀更多 好玩的數學 的文章
