数项级数，这个理论实际上是数列极限理论的另一种表现形式。数列是一列数如a1,a2,a3...;数项级数是无限个数相加的问题如a1+a2+a3+....+an+...。这些无限相加的问题是否有意义，怎么判断是否有意义，以及是否满足通用的运算律，如加法交换律，乘法结合律等，这是数项级数要讨论的问题。
第1节：数项级数的概念与性质：
- 数项级数或者称无穷级数（简称级数）表达式：Σan = a1+a2+a3+...+an+... ；其中an是通项
- 前n项和 sn=Σa1+a2+a3+...+an
- 如果由部分和组成的数列{sn}收敛于s，则级数Σan收敛，反之级数发散
- 约定lim sn=±∞ n->∞,称发散到±∞
- 柯西收敛准则：说明了级数Σan收敛的充分必要条件
- 级数收敛的必要条件：通项->0，即 lim an = 0 n->∞
- 级数具有线性性质
- 定理：级数收敛，则在表达式中任意加括号，不影响收敛性
第2节：正项级数
- 正项级数：每一项都是正的，是同号级数的一种，另一种同号级数是负项级数
- 正项级数收敛判别法：充要条件：部分和数列{sn}有上界
- 正项级数收敛判别法：柯西积分判别法：f(x）在[1,∞）单调递减，且非负，则级数Σf(n) 与无穷积分∫f(x)dx |1->+∞ ；该定理沟通了积分与级数的关系，其实来源于定积分的定义
- 对于正向级数判别法：还有柯西根植法（包括柯西根植法的极限形式），Alembert比值法 和 Raabe判别法
第3节：一般项级数
- 绝对收敛：Σ|an| 收敛，则Σan为绝对收敛
- 条件收敛： Σan收敛，但 Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛
- 定理：绝对收敛必收敛（简记形式）
- 交错数列：项是正负相间的
- 莱布尼兹级数：对于交错级数，它的{an}单调递减趋于零
- 收敛性判断：莱布尼兹级数必收敛
- 还有迪利克雷判别法和阿贝尔判别法，都作为定理给出
第4节：绝对收敛和条件收敛的性质
- 收敛级数具有可具有可结合性
- 收敛级数的重排或者称为交换性，绝对收敛的的重排也绝对收敛
- 黎曼定理：级数条件收敛，则存在序列{an}的一个重排{a`n} 使得Σa`n=A
- 级数的乘积：柯西定理：Σan；Σbn绝对收敛，且 Σan=A；Σbn=B；则任意方式排出的级数都是绝对收敛，且其和=AB
分享到:
閱讀更多 文話教育 的文章
