數項級數，這個理論實際上是數列極限理論的另一種表現形式。數列是一列數如a1,a2,a3...;數項級數是無限個數相加的問題如a1+a2+a3+....+an+...。這些無限相加的問題是否有意義，怎麼判斷是否有意義，以及是否滿足通用的運算律，如加法交換律，乘法結合律等，這是數項級數要討論的問題。
第1節：數項級數的概念與性質：
- 數項級數或者稱無窮級數（簡稱級數）表達式：Σan = a1+a2+a3+...+an+... ；其中an是通項
- 前n項和 sn=Σa1+a2+a3+...+an
- 如果由部分和組成的數列{sn}收斂於s，則級數Σan收斂，反之級數發散
- 約定lim sn=±∞ n->∞,稱發散到±∞
- 柯西收斂準則：說明了級數Σan收斂的充分必要條件
- 級數收斂的必要條件：通項->0，即 lim an = 0 n->∞
- 級數具有線性性質
- 定理：級數收斂，則在表達式中任意加括號，不影響收斂性
第2節：正項級數
- 正項級數：每一項都是正的，是同號級數的一種，另一種同號級數是負項級數
- 正項級數收斂判別法：充要條件：部分和數列{sn}有上界
- 正項級數收斂判別法：柯西積分判別法：f(x）在[1,∞）單調遞減，且非負，則級數Σf(n) 與無窮積分∫f(x)dx |1->+∞ ；該定理溝通了積分與級數的關係，其實來源於定積分的定義
- 對於正向級數判別法：還有柯西根植法（包括柯西根植法的極限形式），Alembert比值法 和 Raabe判別法
第3節：一般項級數
- 絕對收斂：Σ|an| 收斂，則Σan為絕對收斂
- 條件收斂： Σan收斂，但 Σ|an|發散，則稱Σan為條件收斂
- 定理：絕對收斂必收斂（簡記形式）
- 交錯數列：項是正負相間的
- 萊布尼茲級數：對於交錯級數，它的{an}單調遞減趨於零
- 收斂性判斷：萊布尼茲級數必收斂
- 還有迪利克雷判別法和阿貝爾判別法，都作為定理給出
第4節：絕對收斂和條件收斂的性質
- 收斂級數具有可具有可結合性
- 收斂級數的重排或者稱為交換性，絕對收斂的的重排也絕對收斂
- 黎曼定理：級數條件收斂，則存在序列{an}的一個重排{a`n} 使得Σa`n=A
- 級數的乘積：柯西定理：Σan；Σbn絕對收斂，且 Σan=A；Σbn=B；則任意方式排出的級數都是絕對收斂，且其和=AB
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