前言：本次试题为陶发武、方卫老师原创，向两位创造者表示敬意！
题目
如图1，已知，矩形ABCD与矩形OEFG全等，O为矩形ABCD对角线交点.当OE与OD重合时，边OG与边AB交于点H.
(1)若点H与点A也重合时，求AD：DC的值.
(2)若S矩形ABCD=3S四边形ODAH，求AD:DC的值.
(3)如图2，矩形保持（2）中的形状不变，当矩形OEFG绕点O逆时针旋转45°时，OE交AD于M.求四边形OMAH与矩形ABCD的面积之比.
解析：
(1)点H与点A重合，观察∠DOH，它便与∠DOA重合，意味着∠DOA=∠DOH=90°，当一个矩形对角线互相垂直时，它就变成了正方形.比值第一关完美通过！
(2)四边形ODAH可看成是△BAD减掉△BOH之后得到的，其中四边形ODAH是矩形ABCD面积的三分之一，而△BAD是矩形ABCD面积的二分之一，于是我们可以得到△BOH面积是矩形ABCD面积的六分之一，即△BOH面积是△AOB面积的三分之二，则左侧的△AOH面积等于△BOH的一半，且它们等高，因此底AH为BH的一半，同时图中△BOH与△BAD是相似三角形，于是我们将△BOH与△BAD的面积关系找出来，为1：3.同时因为△BOH∽△BAD，知道它们的相似比为1：√3，面对如此众多的数量关系，理清它们的最佳方式就是设其中一条边为x，然后用含x的代数式表示出其余所有需要的边。不妨设AH=x，于是BH=2x，由相似比可得BD=2√3x，O为BD中点，故OB=√3x，特殊直角三角形出现了，它就是Rt△BOH，∠OBH=30°，于是开始势如破竹，AD=√3x，DC=AB=3x，比值为1：√3
(3)在前一问的条件下，又增加了旋转角45°，我们的突破口就从这个新增加的条件开始，45°最容易令人联想到的图形是等腰直角三角形，同时由于∠DOM=45°，∠MOH=90°，则∠BOH=45°，过点M、H分别向BD作垂线，所构成的图形恰好是“一线三直角”
我们采用类似上一问的设置未知数的办法来寻求边长之间的数量关系，设DN=y，则MN=√3y，ON=√3y，OD=(1+√3)y，于是OB=(1+√3)y，而OB被点K所分成的两部分恰好也为1：√3，于是OK=y，BK=√3y，我们只需要分别求出△DOM和△BOH的面积，它们的底分别是OD、OB，高分别为MN、KH，再用△ABD面积相减即可得到四边形OMAH的面积，至此基本障碍已经清除，剩下任务就轻松了，解答过程如下：
反思：
在解决第2问时，面积法的使用上，也可以将其中某个图形的面积作为单位面积，然后将其余图形面积用它表示，关键是得到那一对等高三角形和一对相似三角形，数量关系便由它们开始。
在思考第3问时，面对前面已经得到的30°角，又新增了45°角，所以优先应考虑构造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，同时脑海中一定要存留常规思路中的基本图形，即一线三直角，当我们作完垂线后，基本图形便显现出来。
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