勾股定理與最短路徑問題
最短路徑問題的核心理論是：兩點之間線段最短，但在不同情形中，會以不同的方式出現，也就會涉及到不同的思路和方法，比如在【幾何模型】“將軍飲馬”問題——作一首小詩這一講中，主要利用到"兩點之間線段最短"和"三角形兩邊之和大於第三邊"(三角形的三邊關係本質上還是"兩點之間線段最短")，而這一講，我們主要涉及到立體圖形的最短路徑問題。
一、立體圖形的最短路徑問題的解決思路
對於立體圖形的最短路徑問題，我們一般是利用"橫切"或"展開"等手段，將其轉換到平面圖形中解決，而這種情形不免會在直角三角形中解決，也自然會和勾股定理扯上關係
二、利用"橫切"，轉換成平面圖形
【例】
如圖，有一個透明的直圓柱狀的玻璃杯，現測得內徑為5cm，高為12cm，今有一隻14cm的吸管任意斜放於杯中，若不考慮吸管的粗細，則吸管露出杯口外的長度最少為多少？
(注：內徑即底面直徑)
【分析】
若使吸管露出杯口最短，自然留在杯中最長，而最長莫過於下列情況：
這樣，按照上圖將圓柱"橫切"，就可以將其轉換到RT△ACB中解決，而AB可有勾股定理解得：AB=13cm，所以吸管露出杯口的最短長度AD=BD-AB=1cm
【練習題】
如圖，將一根25cm長的細木棒，放入長、寬、高分別為8cm、6cm、10cm的長方體無蓋盒子中，則細木棒露在盒外面的最短長度是多少？(保留1位小數)。
三、利用"展開"，轉換成平面圖形
這類問題又可以細分為兩種情形：
直面(正方體或長方體)和曲面(圓柱)，但無論直面或曲面，一般都是展開為矩形，進而利用勾股定理解決
【例】直面(正方體或長方體）
【分析】
研究在表面從點M到點C的最短路徑，可以將正方體表面局部展開：
根據“兩點之間線段最短"，可知最短路徑，即為線段MC。進而，在RT△CGM中，利用勾股定理，可求MC
【練習題】
【例】曲面(圓柱)如圖，圓柱高15cm,底面半徑為8/兀cm，一螞蟻從B點爬到A點的最短路徑為多少?
【分析】
請注意：此題的易錯點是，很多同學直接連接AB，認為此時線段AB即為最短路徑。拜託，你的螞蟻會"穿牆術"嗎？
這裡是從圓柱表面爬行，即在曲面上爬行。也就是說，在"視覺上"，螞蟻是按照"曲線"爬行的(實際上，還是一條直線)
儘管如此，我們仍然可以把這個圓柱表面局部展開，可得：
關鍵點：這裡的線段BC長，實際上是指上圖中，半圓BC的長度(紅色部分)
根據"兩點之間線段最短"，可知最短路徑，即為線段AB。進而，在RT△ACB中，利用勾股定理，可求最短路徑AB長
【練習題】
如圖，以A點環繞油罐建梯子，使它正好落在A點的正上方B點處，問梯子最短要多少米？(已知油罐底面半徑為6/π m，AB為5m)
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