一．转变教育观念，将“再创造”作为整个数学教育的原则
要相信每个人身上都有着创造潜力，小学生和科学家都有创造性，只是在创造层次和水平上有所不同而已。科学家探索的新的规律在人类认识史上是“第一次”的，而学生学习的是前人发现积累的知识。但对学生本来来说是新的“第一次”。我国教育家刘佛年教授指出：“只要有点新意思，新思想，新观念，新设计，新意图，新做法，新方法，就称得上创造”。所以对每个学生个体而言，都是在从事一个再发现，再创造的过程。数学教育家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出：“将数学作为一种活动来进行解释，建立在这一基础上的教学活动，我称之为再创造方法”。“今天，原则上似乎已普遍接受再创造方法，但在实践上真正做到的却并不多。其理由也许容易理解。因为教育是一个从理想到现实，从要求到完成的长期的过程”。“再创造是关于研究层次的一个教学原则，它应该是整个数学教育的原则”。通过数学教学这种活动来培养学生的数学创造性思维，发展学生数学创造性思维，才能为在21世纪学生成为创造性的人才打下基础。
二．在启发式教学中采用的几点可操作性措施
中小学数学教育是基础教育，创造性思维的培养是一个长期的过程，应该在数学教学中认真探索，积极试验，逐步渗透。数学教学经验表明：“启发式方法乃是使学生在数学教学过程中发挥主动的创造性的基本方法之一”。而教学是一种艺术，在一般的启发式教学中艺术地采用以下可操作地措施对形成学生地数学创造性思维是有益地。
1. 观察试验，引发猜想
英国数学家利特尔伍德在谈创造活动的准备阶段时指出：“准备工作基本上是自觉的，无论如何是由意识支配的。必须把核心问题从所有偶然现象中清楚地剥离出来......”。这里偶然现象是观察试验地结果，从中剥离出核心问题是一种创造行为。这种行为达到基本上自觉时，就会形成一种创造意识。我们在数学教学中有意识设计，安排可供学生观察试验，猜想命题，找规律的练习，逐步形成学生思考问题时的自觉操作，学生的创造性思维就会有很大发展。比如前面文章《影响数学创造性思维的主要因素》中
这个算式就是样的问题，从中可以体察从观察入手，从偶然中剥离“核心问题”的思维过程。
观察许多数学竞赛优胜者解题的过程，开始总是从简单入手试来试去，画来画去，这实际上就是在寻找规律，进行猜测。
1. 数形结合，萌生构想
想象是形象思维的重要组成部分。数学中的想象更加奇特。它是数学中的形象思维与抽象思维的有机结合，具有新颖的独创性与综合的创造性。爱因斯坦曾指出：“提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力”。在数学教学中，适时地抓住数形结合这一途径，以训练学生从形角度看数式，也就是从一种新的（几何）角度去看旧的（代数）问题，或者从代数角度看几何问题，是培养创造性想象力的极好契机。
举个例子
正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k。
求证：
这是一道数学竞赛试题。命题者已给出如下解答：
因为abc+ABC>0，k>0
所以
即
我们可以启发学生由a，b，c，A，B，C均为正数，且a+A=b+B=c+C=k考虑可否从一个新的角度，比如从几何角度去思考，这时不少学生头脑中产生了构想，形成如下图所示的一个等边三角形PQR：
显然，S▲LRM+S▲MPN+S▲NQL < S▲PQR
即
所以
解法简洁，明快，具有创新的特点。
这种数形结合产生构想的训练既发挥了大脑左半球的逻辑思维功能，又发挥了大脑右半球的形象思维功能，对发展创造性的想象力很有帮助。
3. 类比模拟，积极联想
类比是一种从类似事物的启发中得到解题途径的方法。类似事物是原型，受原型启发，推陈出新；类似事物是个性，由个性中提出共性就是创新。
俞振善发明的“数块计算法”就产生于以下的类比联想：他观察凳子的四条腿，
由此萌生研究用木块进行乘法运算的念头。最后他依据多项式乘法的几何图形表示原理并设计了相应的“进位规则”，从而发明了“数块计算法”，创制了“数块计算器”。
任何创造都是从模仿开始，“先模仿后改造”本身就包含创新成分。比如，在小学四年级（我儿子作业中发现）中有这样的问题：“在线段AB上插入9个点P1，P2，...P9，一共可以数出多少条线段？”，如下图：
当然，由于是小学四年级的问题，由于知识量的局限性，教师讲授的解法比较机械死板，在此我不便评价。
由这个问题可以发散出如下图形的类似问题：
在锐角AOB中，从顶点O引出9条射线，问在图中可以数学多少个锐角？
在三角形ABC的边AB上取9个点P1，P2，...P9，联结CP1，CP2，......CP9，问图中可以数出多少个三角形？
在这些问题的比较中（本例讨论范围不局限在小学四年级），可以启发训练学生抽取它们共性的本领。这些问题背后的本质是“11个元素两两配对共有多少种方法”？
答案是：
4. 发散求异，多方设想
从思维的指向性看，吉尔福特提出了发散思维与收敛思维的概念。
在发散思维种“是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新运算，有时去追求多样性”。“发散思维能力有助于提出新问题，孕育新思想，建立新概念，构筑新方法”。在中小学数学教学种，一题多解是通过数学教学培养发散思维，发展数学创造性思维的一条有效途径。
例如著名的蝴蝶定理，如图
M是圆的弦AB的中点，CD，EF是过M的两条弦，连接DE，CF分别交AB于P，Q两点，则PM=QM。
这是一道著名的平面几何问题。就其证法而言，最基本的是综合法。在教学中引导学生讨论，最后找到面积证法，三角证法，解析几何证法，复数证法。探求不同方式的证明使学生思路开阔，这就已经产生了思维的发散性。
而80年代师大附中的许振东同学的证法相当具有创造性，新颖性，视角独特，非常具有启发性，他是从“圆是特殊的二次曲线”入手，将蝴蝶定理推广到二次曲线中，得出“在二次曲线C中，M是弦AB的中点，CD，EF是过M的两条弦，过D，E，C，F四点的二次曲线交AB于P，Q两点，则PM=QM，并给出了证明”。他的这种发散性思路上到了一个更高的层次。
实践证明，按如下模式延拓发散思考，多方提出问题，对培养发散思维，提高创造性思维能力是大有裨益的。
5. 思维设计，允许幻想
数学家德摩根曾指出“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥”。列宁也曾说过“幻想是及其可贵的品质”“甚至在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分”。在数学的抽象思维中，动脑设计，构想程序，可以锻炼抽象思维中的建构能力。马克思曾比喻过“最拙劣的建筑师和最巧妙的蜜蜂相比显得优越的是建筑师在以蜂蜡构成蜂房以前，已经在他的头脑中把它构成了”。根据需要在头脑中构想方案，建立某种结构，是一种非常重要的创造能力。这种能力可以通过数学中有限制条件的开放型问题去训练，效果很好。
举个大家都非常熟悉的例子 鸡兔同笼
鸡兔共有头18个，足60只，问有多少只鸡，多少只兔？
有些学生用算术方法，也有用列方程的方法来解本题。有个学生列算式：60/2-18=12，即为兔子的只数，当然，18-12=6为鸡的只数。
这与鸡兔同笼算术公式不符。但是不要马上武断地认为这个学生是凑数凑出来地解而加以否定。学生是这样解释的：把鸡腿捆起来看成是金鸡独立的“单脚鸡”，把兔子看成前脚抱着大萝卜站着的“双腿兔”，这时共有18个头，60/2=30只。每只“双脚兔”比“单脚鸡”多一只脚，30-18=12正是兔子的头数。
多么丰富的想象！这种别出心裁的解法简直让人拍案叫绝！
6. 直觉顿悟，突发奇想
数学直觉是对数学对象的某种直接领悟或洞察，它是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性。“科学直觉直接引导与影响数学家们的研究活动，能使数学家们不在无意义的问题上浪费时间。直觉与审美能力密切相关。这在科学研究中是唯一不能言传而只能意会的一种才能”，“面对思维，应当经常联系直观背景和实际因素”。在中小学数学教学中可以从模糊估量，整体把握，智力图像三个方面去创设情境，诱发直觉。能使堵塞的思路突然接通。比如有的选择题从模糊估量上就能八九不离十地找到答案，有的问题靠直觉整体把握能很快发现“此路不通”“条件有误”。如：a个学生在 b小时内共搬运c块砖，那么以同样速度，c个学生要搬运a块砖需要的时间是（）小时。
比较四个答案，只有（D）是一次的，直觉感到应是（D）正确。
将不同事物连接起来形成智力图像，往往使思路顿开，更是直觉思维的精彩之处。
举个例子 求不定方程x+y+z+t=8的正整数解的个数。
学生一般不能马上求解此题。让我们突发奇想，与课外活动中打篮球产生联系：这个问题好像8个篮球要投入4个篮球筐中（x，y，z，t），每个筐都至少要投入一个球，就好像
O O O O O O O O
8个球的7个间隔插入3个“+”号的状态。这样在7个间隔中插入3个“+”号的方法数是
这是不定方程x+y+z+t=8的正整数解的个数。
7. 群体智力，民主畅想
良好的教学环境和学习气氛均有利于培养学生的创造性思维能力。课堂上教师对学生讲授解题技巧是纵向交流，垂直启发，而学生之间的相互交流和切磋则可以促进个体之间创造性思维成果的横向扩散或水平流动。
在讨论过程中，教师对学生的新想法应尽量启发，理解，帮助学生表达清楚，对其中的合理成分应充分肯定，切记轻率武断地否定学生的想法，形成平等，民主的讨论空气，这对促进数学创造性思维的发展是十分必要的。
閱讀更多 STEAM新數學 的文章
