一、换元法
在问题解决中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，使关于新元的问题能够解决；解决以后再将结果反演回去，得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法，也叫代换法。
“元”可以是任何意义下的基本元素，如未知数、变量、常量、几何元素等，也可以是一个整体，如代数式、图形等。本节来介绍下在解题过程中常用到的三种换元法。
第一换元法（旧式换为新元）
模式： f [ ψ(x) ] = f ( u ) ，其代换为 ψ(x) = u .
例题1、已知
例题1图（1）
解：将已知等式改写为
例题1图（2）
注：解题的关键是能把 t^2 + 1/t^2 凑成 t + 1/t 的表达式，所以这是凑法换元 。
例题2、求函数
例题2图（1）
解：
例题2图（2）
注：由函数 y = f ( x ）换元为 y = ψ（u），不但转换解析式也要注意转换定义域。
第二换元法（旧元换为新式）
模式： f（x）= f [ ψ（u）] ，其代换为 x = ψ(u) .
在方程的观点上，第二换元法是把方程 y = f ( x ) 化为参数方程 ： x = ψ(u) ，u = f（u）, （u为参数）。
例题3、解不等式
例题3图（1）
解：
例题3图（2）
注：这是正切代换，遇见 √（1+t^2），可作代换 t = tanθ , θ∈（-π/2 ，π/2），其中 θ 的范围必须设出，保证代换是等价的。
例题4、求函数
例题4图（1）
解：函数的定义域是 [-1/2 ，0 ）∪ （0 ， 1/2 ] ，
例题4图（2）
注：这是正弦代换，遇见 √（1-x^2），可作代换 x = sinθ , 或 x = cosθ，要根据 x 的范围确定 θ 的范围 。
第三换元法（旧式换为新式，及广义换元）
例题5、求函数
例题5图（1）
解：
例题5图（2）
分享到:
閱讀更多 尚老師數學 的文章
