《数学家讲解小学数学》，伍鸿熙著，赵洁、林开亮译，北京大学出版社，2016年
《数学家讲解小学数》简介
作者 | 赵洁 林开亮
4《数学家讲解小学数学》
对中小学教学的指导意义
《数学家讲解小学数学》是一本典型的侧重正确知识性的师资培训教材，旨在对教师的知识理论结构进行一次彻头彻尾的整理。当然，师资培训教材不能作为学生课本直接搬进课堂，还需要学生课本的编写者以讲授正确的数学知识为基本原则，以中小学生的认知特点为指导，编写出循序渐进的、适合中小学生使用的课本。教师在掌握了正确的数学知识后，也应当辅以适合学生认知的教学策略，以便于学生更好地理解数学。
为了解释这一点，我们以三年级阶段学生对分数的初步认识为例，介绍该书对中小学教学的指导意义。
伍教授强调，每一个数学课题的教学都必须是阶梯式地缓慢递进的过程。例如， 在他参与制定的CCSMS 中，分数的教学从三年级贯穿到七年级。其中，三年级阶段的分数教学的目的有三：
一、理解分数 
表示把一个整体平均分成 b 个相等的部分后其中 1 个部分的大小，分数
表示把一个整体平均分成 b 个相等的部分后其中 a 个部分的大小。
二、理解分数是数在线的一个点；把分数表示为数在线的一个点。
三、解释等值分数的意义，比较分数的大小。
在三年级，学生首次接触分数的部分、整体关系， 鉴于学生对数学的认知程度较浅，所以只能用简单的比喻和直观的推理给学生展示分数。但即使是在这个探索和体验的初步阶段，教师仍然可以选择好的方法进行分数的教学。至少，教师可以帮助学生养成习惯： 在讨论分数时要注意选择某个固定的整体作为单位“1”，而且要尽量精确。在众多表示分数的形式中，正方形和数线这两个数学图形脱颖而出，因为它们表示的不是物体的“形状”，而是物体的“度量”，即面积和长度。例如，把单位正方形任意分割成面积相等的 部分，那么
可以表示其中一部分的面积。如图所示：
这样对正方形进行多种分割，直观又形象，但也暗 示学生，这种平均分割针对的是面积而不是形状。对于规定好的单位正方形，分割后所得形状不同的部分也有可能表示同一个分数。
再如，教师不应该唐突地提出如下问题：“下图阴影部分表示的分数是多少？”
这个问题的不合理性在于没有明确地指出单位“1”是什么。如果单位“1”是整个矩形的面积，那么阴影部分的面积应该是
，如果单位“1”是单位正方形的面积，那么阴影部分的面积就是
。因此，最好养成习惯，从一开始就强调单位的重要性，以避免这种歧义。
伍教授认为，如果把分数想象成某些图形对学生 的学习有帮助，那么当然可以尽情地使用这些图形，例如馅饼、苹果、正方形、或一些圆圈等。教师可以用 一切可以想到的图标为学生展示分数，但是一定要保证使用语言的准确性，明确单位“1”代表的是图形的度量而不是图形的形状，并在同一个题目中保证单位“1”的大小保持不变。
当学生对分数有了以上初步的认识后，就可以逐 渐体会其精确的数学定义，逐步清晰地理解分数是数 在线的一个点，并把分数表示为数在线的一个点。在 定义的帮助下，再对分数比较大小、理解等值分数、以 及四五年级学习分数加减乘除四则运算，学生就能形 成完整的逻辑系统。
伍教授这套书的定位是师资培训教材，其受众是中小学数学教师。他在《凤凰涅盘》（中译文见【22）中指出，
孩子的数学思维，技术的合理应用，师生互动，以及良好的教学实践等……对于教学是很重要的话题，但是它们还不足以将旧式数学体系改变成核心标准的体系课程。当务之急是，如何用师资培训来帮助教师们，把旧式数学转变成正确的、连贯的、精确的、合理的中小学数学。
也就是说，他认为数学的正确性是讲授数学的首要前 提，而在符合学生认知水平的特点的基础上选择适合 的方法和途径则可以作为辅助手段，使得同时满足所 讲授的数学既是正确的，也是有趣的。
结语
总之，我们希望，所有的中小学数学教师能抽空读一读伍教授的这本书。这是一位数学家在对高等数学做过多年的深入研究以后再重新审视中小学数学的结晶。对于中小学生在学习数学中已经遇到的或将来可能遇到的种种问题，伍教授都做了深入的思考，并对这些问题给出了出色的回答。当然，“授人以鱼，不如授人以渔”，我们更需要学习的是这种方法与精神，即要去钻研学生可能遇到的困难，并努力直面问题给出解决方案，而不是回避和敷衍。这样的努力是值得的， 正如著名英国数学家阿蒂亚（Atiyah）所说的（见【4】）：
我们必须牢牢记住，数学是人类的一项活动。求解问题或做数学的目的大概是为了把我们获得的信息传递给后代。我们必须记住，人的智力是有限的，肯定不能连续不断地去领会和消化无穷多的问题并把它们全部记住。在很大程度上，理论的真正目的，着眼于把过去的经验加以系统地组织， 使得下一代人—— 我们的学生以及学生的学生，能够尽可能顺利地汲取事物的本质内容。唯有如此，你才能不断地进行各种科学活动而不至于走进死胡同，我们必须设法把我们的经验浓缩成便于理解的形式， 这就是理论之基本所为。也许我可以引用庞加莱在谈论这个话题时的所说的话：科学由事实建造，正如房屋由石头建造一样； 但是事实的收集并非科学，正如石块的堆积并非屋宇。
古人云：博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行 之。这就是伍鸿熙教授的真实写照。他不辞劳苦、兢兢 业业、十年如一日地默默耕耘，就是为了让老师们明白数学原来是可以教的，最终让学生明白数学原来是 可以学的，这也是我们所有数学教育工作者的共同目标。笔者深信，伍教授的著作一定会给我们提供许多借鉴和指导。为此，笔者郑重地向读者特别是中小学数学教师推荐伍教授的这套师资培训教材。
致谢
感谢对我们的写作给出极大帮助的各位老师和同学：首都师范大学外语系的张淑娥老师，数学科学学院的丁洁、雷艳萍、邵红亮、王丽芳、王盼盼、赵媛肖同学，北京市丰台一中的田双老师。
感谢伍鸿熙教授对笔者一如既往的热情帮助和支持。
感谢审稿人对初稿提出许多有价值的建议。
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