哈利·波特与圆上的有理点
Nathan Carter and Dan Kalman
译者：雷艳萍
哈利·波特呻吟着醒来，双手紧紧抱着额头。灼热的疼痛沿着额头上锯齿形根号状的伤疤阵阵袭来。他费了九牛二虎之力，终于打破了与伏地魔的精神连结，伏地魔正是多年前在他额头留下伤疤的人。
“哈利，你还好吗？” 赫敏问。“你的伤疤是不是又疼了？”
随着额头的疼痛逐渐减弱，脑海中的迷雾渐渐消散，哈利松开了紧握的双手。“是的”，他回答，“那个人因为某些事情非常心烦。”
格兰芬多学院的交谊厅里，罗恩加入了他们，在壁炉旁的椅子上坐了下来，看起来有些担忧。“为什么，你看到什么了吗？”
“一张加密的图。”他摊开羊皮纸，勾勒出烙印在脑中的图像。
“这张图有什么意义？”罗恩问。
赫敏不以为然地看着罗恩。“罗恩，老实说，你是不是从来就没有翻过你的课本？那很明显是一个circularum unitatus。”
罗恩难为情的蹭蹭脚。“我看起来，就是一个单位圆。”
赫敏翻个白眼，哈利插话。“请不要在文字上计较了，时间不多。那个人正试图找出圆周上所有的有理点。”
“有理点？”罗恩疑惑地问。
“是的，像 (1,0) 和 (0,1) 这样两个坐标都是有理数的点。”
“那个人为什么想要找出这些有理点呢？”
“不知道，既然他这样做，这些点必然是要紧的。我们必须找出他这样做的原因，而且必须比他先找出这些有理点。”
“好的，开始行动吧！”罗恩说。“你已经找到了两个，(1,0) 和 (0,1)，根据对称性，(-1,0) 和 (0,-1)是另外的两个。这就有四个了，还有多少个？”
“这就是问题的关键了，罗恩，” 赫敏摇摇头。“就算找到了更多的点，但怎么确定就是全部的点呢？”
“使用魔法怎么样？”哈利问。“有没有可以用的魔咒？”
“也许有吧，”赫敏回答。“难道那个人不会已经这样做了？不过，试试也无妨。”她举起魔杖。“有理点，现身！”
圆周上开始出现光点，数量不断增加，亮度也不断增强，直到整个圆周都闪闪发亮。
罗恩对着羊皮纸，皱起了眉头，“看起来圆周上每一个点都是有理点！”
“不”，赫敏说，“有许多点不是，比如，
和
。事实上，对任意一个介于 -1 与 1 之间的数 x，单位圆方程
给出
。
但是如果 x 只是一个简单的分数，那么这个 y 几乎总是无理数。我认为魔咒所表明的是，有理点分布得太紧密了以至于无法区分开来。”
“那个人会不会也在找无理点？”罗恩问哈利。
“不，”哈利肯定地回答。“无理点对他来说没有用。” Applied Numerology 本来被认为是一种黑魔法，但是哈利与伏地魔的连结给了他一种本能的直觉，他的朋友们也信赖他的这种直觉。
罗恩难得的有想法。“两个有理点之间连线的斜率总是有理数。”
“怎么说？”哈利问。
“喔，比如 (0,1) 和
是两个有理点，这两点连线的斜率是
。
因为这里所有的数字都是有理数，所以计算出来的结果一定也是有理数。”
赫敏看起来有点怀疑。“就算这样，但这又能告诉我们什么？”
“呃……”罗恩不太肯定地继续。“也许经过圆周上一点，例如 (0,-1) ，画一条斜率为有理数的直线，它将会与圆周交于另一个有理点。因此，经由画斜率为有理数的直线，就可以找到许多有理点。”
赫敏轻叹一声。“罗恩，你混淆了逆命题与逆否命题，这是一个经典的谬误。”
罗恩眨了眨眼睛，不情愿承认自己需要一个解释。
哈利插进来解围。“你的意思是，因为两个点是有理的，所以它们连线的斜率就是有理数，但是这并不意味着反过来也是对的。只是从圆上的一个有理点引出一条以有理数为斜率的直线并不能确保能与圆交于另一个有理点。”
“正是这样！”赫敏附和。
“但是罗恩的想法很好，如果我们能够按照他的方法找出新的有理点，他所陈述的事实也确保了我们能够用这个方法找出所有有理点。而且对每一个有理数斜率来说，刚好只能找出一个有理点。”
罗恩立即点点头。“是的，我正是这个意思，谢啦！”
“那么，我们来对付这个问题吧，”哈利说。“时间可能不多。是不是每画一条以有理数为斜率的直线总是与圆交在有理点上呢？我们试几个例子吧！”
他刚要伸手拿鹅毛笔， 赫敏已抢先一步。 在哈利陈述这个猜想时，她眼睛一亮，边说边用鹅毛笔在羊皮纸上飞快地划着。
“从 (0,-1)这一点引一条斜率为 1/2 的直线。它在 y 轴上的截距为 -1，因此方程为
。
直线和圆的联立方程组
的解就产生出一个新的交点。”
当赫敏开始求解时，罗恩凑过去，指着她的第一个步骤，
“你怎么得到这一步的？”
她转过头看着罗恩，时间似乎定格了，他们四目交会，鼻子几乎相碰。哈利打断他们， “罗恩，赫敏，专心点儿！我们必须比伏地魔早解决这个问题。还记得凡事一经他染指的后果吗？”
“记得”，赫敏转移了视线，低声说，“他……他把一切对应到……”
“邪恶”，哈利接着，“而且无法逆转。”
赫敏手中的笔抖了一下。自从她考完O.W.L.（Ordinary Wizarding Level 的缩写，在小说中是魔法学校考试的一种等级，即普通巫师等级）的O.D.E.（Ordinary Differential Equation，即常微分方程的缩写）以后，还从未对一个数学问题如此没有把握。
“我猜，”哈利说。“你想说你用了代换，对吗？”
“当然，”她回过神来，“方程(1)恰好是一个一元二次方程，因此我们可以展开并应用求根公式。但是这样我们只能找出直线与圆的交点的公式，并不能说它们是有理的。求根公式里有一个根号，而这通常是无理数的标志。”她不由自主地瞥了一眼哈利额头上的疤痕。
罗恩说：“但是我们并不需要二次方程的两个根，我们已经知道 (0,-1) 是其中的一个根，所以只需要求出另外一个。”
赫敏倒吸一口气，眼睛瞪得几乎像羊皮纸上的圆那么大。“罗恩，就是这样！”她尖叫道，抱住罗恩，用力太猛两人一起摔倒在地板上。
罗恩挣脱开来面带委屈。“为什么你总是在我有一个好的想法时如此大惊小怪？”
赫敏涨红着脸回到椅子上， 此时，哈利又插进来，“记住——我们有点赶。赫敏，你刚刚发现了什么？”
赫敏深深吸了一口气。“罗恩， 嗯……所感兴趣的二次方程的根”——她的脸又红了——“是直线与圆的两个交点的 x 坐标。但是我们已经知道其中一点的横坐标是 x=0。也就是说 x=0 是二次方程的一个根，所以二次式可以分解因式为 ax(x-b)。因为这个过程不涉及开平方，因此另一个根也是有理数。我们已经证明了罗恩的猜想！”
“高明！”哈利说,“也就是说，经过点 (0,-1) 作所有斜率为有理数的直线，取它们与圆的交点，就找出所有的有理点了！”
“让我来吧，”罗恩一反常态，用一种正式开讲的语气说，“在化简我的新欢(1)之后，得到
，其非零解为
。代入直线方程，得到
。因此我们得到有理点
。利用对称我们得到
，透过选择适当的正负号可以得到这个解的所有可能形式。”他微笑着扔下鹅毛笔，甚为得意地朝赫敏望去。却只看到赫敏紧锁的眉头，笑容随之退去。
“怎么啦？难道有什么不对吗？”
哈利微笑着说：“当然没错，但我觉得在你开始炫耀之前讲得更好。”罗恩叹了口气。“不过酷的是，数学如何解决这个问题，”哈利继续。“让我试一试，如果取斜率为 5，则直线方程为
y=5x-1。代入圆的方程可得
化简后得到
因式分解为
因此 x=0 或
，我们对 感兴趣。将它代入直线方程 y=5x-1，可得
。好啦！我们在圆上得到了另一个有理点
。”
“但是如何找出所有的有理点呢？”赫敏问，“每一个有理数斜率对应一个不同的有理点，而这样的有理数斜率有无限多个。”
三人盯着羊皮纸沉默了许久。逐渐意识到这是一个惊人的无限长的代数习题，他们似乎陷入了绝望。
一个慈祥的声音从身后传来，打破了沉默，“你们似乎忘记了一个最强大最古老的魔法。”
他们回过头来，墙上阿布思·邓布利多的肖像，一双锐利的蓝眼睛正盯着他们。
“教授，那是什么魔法？”赫敏问。
“哎！代数的魔法，”他回答，“按照先前的步骤，但不选择某个特定的斜率，而是用一个一般的有理数，比如说
。”
“我不知道可以这样做呢，”罗恩嘟囔了一句。
“试一下吧，”哈利说，“如果斜率是 ，那么直线的方程为
。”
“将它代入圆的方程可得
展开后得到
合并同类项可得
“这很丑，然而我还是可以分解因式
为了求出非零根，我们必须解方程
哈利停了一下，对结果不如预期感到不满，“天哪，看起来相当复杂。”
“两边乘以 q² 看看，”赫敏说，“这样就可以去掉分母得到
因此
于是，根据直线方程可得
她看着这个结果，脸上绽放出笑容。“大功告成！我们找到了生成单位圆上所有有理点的公式！”
“赫敏，你太厉害了，”哈利说。“我真希望我们知道那个人为什么想要找出这些有理点。”
从他们开始接受邓布利多的建议，罗恩一直一言不发。哈利回过头来，看到罗恩一脸恍惚地盯着挂在壁炉上方的 Applied Numerology 横幅，“罗恩，你没事吧？”
“嗯？什么？”罗恩答，“哦，没事。我只是在想，我们找到的这些有理点……是不是让你想到了什么？”
“什么意思？”哈利问。
“哦，如果你注意出现在其中的整数，那么在第一个例子中得到3,4,5，在第二个例子中得到 5,12,13，它们似曾相识。”
“罗恩！”赫敏抓着他的长袍摇晃喊道。“太棒了！它们正是麻瓜（Muggle 在小说中指不会魔法的人）所谓的毕达哥拉斯三元数组！”她热情地靠向罗恩，但罗恩却一副不以为然的样子。
“我的意思是说，”她略为平静地继续。“当然是你想出来的，因为你……有时非常……深思熟虑。”
“没错，”罗恩带着满足的微笑回答。“我有时也可以颇为深思熟虑。”他把胳膊搭着赫敏的肩，转向哈利，一根指头点着自己的太阳穴重复道，“深思熟虑。”
“但是，我还是不明白，麻瓜的三元组什么的是什么东西？”哈利问。
赫敏指向羊皮纸，“那些有理点给出了直角三角形三边的比例。在 Mystical Numerology的第一堂课中我们学过——”
“——直角三角形有无与伦比的魔力，”哈利接着说，他连前一天的课几乎都不记得，更不用说第一天的，但是在内心深处他知道这是对的，仿佛他曾经在正式的体系中验证过一样。“但是我仍然不懂这些三元组。”
赫敏回到羊皮纸。“看， 伴随着一个边长为 3,4,5直角三角形，而 伴随着一个边长为5,12,13的直角三角形。同样的，一般点
伴随着一个边长为 
的直角三角形。我们有一个公式能产生每一个可以构成直角三角形边长的三元数组。”
哈利对他两个最好的朋友露出灿烂的笑容，自从他在梦中看到 circularum unitatus 之后，第一次有这样的好心情。“那就是说，无论那个人施用哪种直角三角形魔法，我们都知道如何还击了！”
肖像里阿布思·邓布利多静静地微笑着俯视他三个年轻的门生，“强大的魔法三元组吗？我眼前就有一组魔法三人组。”
致谢：真诚的感谢首都师范大学数学科学学院研究生，邵红亮、赵洁、林开亮对本译文的倾力校对。同时也非常感谢数学传播审稿人对本文翻译过程中语言逻辑以及译文惯例提出的宝贵意见，这对我今后的翻译起着重要作用。
- 作者 -
本文作者 Nathan Carter 为本特利大学(Bentley University) 数学副教授，Dan Kalman 为美国大学 (American University)数学教授，译者雷艳萍为杭州育才中学数学教师。
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