数学是一门十分抽象的学科，数学家通过逻辑推理构建出严谨的数学定理。随着数学的发展，数学被广泛应用于科学领域，尤其是物理学。正如著名数学家高斯所言：数学是科学的皇后。
数学非常严谨，它们已经在物理学中大显威力。物理学家基于数学创立物理定律，这可以描述宇宙中的各种现象，所以数学在物理学的应用十分成功。
但即便如此，很多数学定理证明了数学之力是有极限的。那么，这些定理与科学，尤其是物理学有多大关系呢？
哥德尔不完备定理
数学家哥德尔发现，在一切蕴涵皮亚诺公理（关于自然数的五条公理系统，也就是初等数论）的形式系统中，可以构造出无法证明也无法证伪的命题，也不能证明本身的兼容性。这个发现打破了数学家在此前两千年来所形成的认知，数学其实是不完备的。
不过，哥德尔不完备定理与科学实践无关。这是因为数学家总是可以用另一个公理来扩展原来的公理系统，只是这个公理无法表明先前不可判定的命题是否为真。
不可判定性：物理学中如何处理数学的不完备性？
在物理学中，理论是一组数学公理，就像哥德尔不完备定理所涉及的那些公理一样。不过，物理学理论还为如何用可测量的量来确定数学结构提供了一种方法。毕竟，物理学是科学，不是纯粹的逻辑数学。
因此，如果物理学中有任何不可判定的命题，物理学家会通过实验测量来判定它，然后再引入一个与结果一致的公理。或者，如果不可判定的命题没有对应可观测到的结果，那么，物理学家也可以忽略它。
不可计算性
关于不可计算性的数学定理在物理学上同样是不相关的，但原因不同。不可计算性的问题在于它总是来自于无限的东西，但现实中没有任何东西是真正无限的。因此，这些定理其实并不适用于我们能在自然界中找到的任何东西。
图灵停机问题
图灵停机问题可以说明这个问题。计算机科学之父图灵则提出一个设想，试着找到一个元算法，它可以告诉我们另一个算法在有限时间内是否会结束运行。图灵证明，这样的元算法不存在。这是一种无限大的类，在现实中，我们永远不会需要一个算法来回答无穷多的问题。
在数学中，大多数实数是不可计算的，这是因为没有算法可以在有限的时间内把它们近似到某一有限的精度。但在物理学中，物理学家从不处理实数。物理学家处理是有限小数位的数，并且带有误差线。
不可预测性
量子力学有一个不可预测的因素，但这种不可预测性是相当无趣的，因为它是通过假设得到的。更有趣的是混沌系统的不可预测性。
对于一些混沌系统，它们有一种特殊的不可预测性。即使知道任意精确的初始条件，我们也只能在有限的时间内做出预测。在现实世界中，这种情况是否真的会发生，目前还不清楚。
这种不可预测方程的一个例子是纳维-斯托克斯方程（N-S方程），它常被用于天气预报。N-S方程是否在某些情况下会导致不可预测的情况，目前尚不清楚，这是当今最难的数学问题之一。
如果假设这个问题已经解决了，N-S方程有时确实不可能在有限时间之内做出预测。那么，我们能从中了解到关于自然的什么？不是很多，因为我们已经知道N-S方程只是一个近似值。
事实上，气体、液体都是由微观粒子构成的，这应该用量子力学来描述，但量子力学并没有那种混沌的不可预测性。不过，量子力学或许最终也不是正确的理论。因此，我们真的不能说大自然是可预测的，还是不可预测的。
这是一个将不可能性定理应用于自然的一般性问题。我们永远不知道物理学中所做的数学假设是否真的正确，或者如果有一天它们会被更好的东西取代。物理是科学，不是数学。物理学家使用数学是因为它有用，而不是因为物理学家认为大自然就是数学。
也许N-S方程根本就不是预报天气的正确方程，但我们目前正在使用它。正因为如此，知道什么时候会出现不可预测的情况是很重要的，这样可以避免出错。这对于天气来说并不可行，但对于某些混沌系统是可行的，例如，核聚变中的等离子体。
在核聚变过程中，等离子体有时会产生不稳定性，破坏保护壳。因此，一旦出现不稳定的情况，核聚变就必须迅速停止，这会让核聚变效率变得非常低。如果能够知道什么时候会出现不可预测的情况，就能在第一时间阻止它们发生。
总结
所有这些听起来就像不可判定性、不可计算性和不可预测性的问题都是属于数学，与科学无关。但从某种意义上来说，数学中的不可能性定理在科学中又是相关的，这并不是因为它们告诉我们一些关于自然本质的东西，而是因为我们在实践中使用数学来理解所观测到的自然现象，定理可以告诉我们物理学理论能做出什么预测。