我们可以说，现在是第一次把一个拥有许多奇妙结果的新方法公开出来，在未来的年月里，它将赢得别人的重视。 ——伽利略
截至1600年，欧洲的科学家无疑注意到数学在自然科学研究上的重要性。这种信念的最有力的证据是哥白尼和开普勒的工作，他们为了一个在当时仅仅具有数学优越性的理论而坚决地去推翻久已公认的天文学和力学的定律以及宗教信条。尽管如此，倘若科学仍然跟着以往的脚步前进，就很可能不会有近代科学的惊人成就，数学也就不会从中取得推动创造性工作的巨大力量。可巧在17世纪中，笛卡尔和伽利略两人针对科学活动的基本性质，进行了革命化。他们选定科学应该使用的概念，重新规定科学活动的目标，改变科学中的方法论。他们这样做，不仅使科学得到出乎意料和史无前例的力量，而且把科学和数学紧紧地结合起来。他们这个计划，实际上是要把理论科学归结到数学。想要了解从17世纪到19世纪这段时间中推动数学的力量，必须先考察笛卡尔和伽利略两人的思想。
一、笛卡尔的科学观
笛卡尔明确宣称科学的本质是数学。笛卡尔说，他“既不承认也不希望物理学中有任何原理不同于几何学和抽象数学中的原理，因为后者能解释一切自然现象，并且能对其中一些现象给出证明。”客观世界是固体化了的空间，或者说是几何的化身。因此它的性质应该可以从几何的基本原理推导出来，而其中一些简单性质隐含着逻辑推理中的基础作用。
笛卡尔精心讨论了为什么世界是可以接近的，并可归结到数学。他坚持物质的最基本和最可靠的性质是形状、延展和在时空里的运动。因为形状也只是延展，所以他断言：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出来。”运动本身是力作用在分子上的结果。笛卡尔相信这些力服从于不变的数学定律，而且由于延展和运动都可用数学表示出，所以一切现象都可用数学描写出来。
笛卡尔的机械哲学甚至推广到人体的功能上去。他相信，力学定律可以解释人和其他动物的生命。在他的生理学著作中，他用热、水力、管子、活塞和杠杆的机械作用去解释身体的作用；只有上帝和灵魂不是机械的。
如果笛卡尔把周围的一切看作只是由运动的物质构成的，那么，他怎样解释味道、气味、颜色和声音的质量呢？这里他采用了古希腊关于第一性和第二性的学说，依照德谟克利特，这个学说主张“甜与苦、冷与热以及颜色等东西，只在意念中存在，在实际中不存在，真正存在的是不变的粒子、原子以及它们在空的空间中的运动”。第一性的东西，即物质与运动，存在于物理世界中；第二性的东西，仅仅是当外界原子冲击到人的感官时，第一性的东西产生这些感官上的效果。
因此，在笛卡尔看来，有两个世界：一个是巨大的协调地设计出来的数学机器，存在于空间和时间中，另一个是思维的世界。第一世界中的元素作用在第二世界上的效果就产生出物质的非数学性质或次要的性质。此外，笛卡尔肯定了自然界定律的不变性，因为这些定律只是预先规定的数学图案的一部分。就是上帝，也不能改动这不变的自然界。在这里，笛卡尔否认了通行的信条：上帝不断地干预着宇宙的活动。
虽然笛卡尔的哲学和科学学说背离了亚里士多德主义和经院主义，但在一个基本的方面，他还是一个经院主义者：他从自己的心里得出关于存在和实在的命题。他相信有先天的真理，而且理智本身的力量，可以得到对于一切事物的完全知识。例如，他是在先天推理的基础上，叙述出运动定律的（实际上，在他的生物学工作中，他作了些实验，并且从中得出重要的结论）。
但是除了依靠先天原理以外，他的确传播了一个普遍的系统的哲学，从而震撼了经院主义的堡垒，开辟了新鲜的思想渠道。他的关于清除一切先入之见和偏见的企图，是他对过去造反的明白的宣告。通过把自然现象归结为纯物理的事态，他的确作了许多努力去剥掉科学中的神秘主义和玄虚成分。笛卡尔的著作影响很大，他的演绎而且系统的哲学风行于17世纪，特别是使牛顿注意到运动的重要性。他的哲学著作的精装本，甚至成为贵妇们梳妆台上的点缀品。
二、伽利略的科学研究方式
虽然伽利略的科学哲学大部分与笛卡尔的一致，但是给近代科学制定出更彻底更有效更具体的程序，并用自己的工作证实该程序的效果的，却是伽利略。
伽利略（1564—1642）出生于比萨一个布商的家庭，他进了比萨大学学医。那里的课程还是在中世纪的水平上。伽利略从一位工程师那里学了数学，在17岁那年从医学转到数学。学了大约8年之后，他向博洛尼亚大学申请教师职位，但因不够优秀而遭到拒绝。后来他得到比萨大学的一个数学教授职位。在那里，他开始攻击亚里士多德的科学，并且毫不迟疑地发表他的看法，即使同事们疏远了他也在所不顾。那时他已经开始写出重要的数学论文，引起一些能力较差的人的忌妒。这使他感到不愉快，因而在1592年接受了帕多瓦大学数学教授的职位。在那里，他写了一本小册子《力学》（Le mecaniche，1604）。在帕多瓦待了18年后，他被美第奇的大公爵科西莫（Cosimo II）邀请到佛罗伦萨，并被任命为宫廷首席数学家。科西莫给了他一所住房和可观的薪俸，并且保护他免受耶稣会的迫害（那时耶稣会把持着教皇职位，而伽利略由于拥护哥白尼的学说已经受到他的威胁）。伽利略把他发现的木星卫星命名为美第奇卫星，这些星是在他为科西莫服务的第一年中发现的。他在佛罗伦萨有充分时间从事研究和写作。
比萨大学
他提倡哥白尼学说，触怒了罗马宗教法庭，1616年被召到罗马。他对于太阳中心论的传播受到谴责，不得不答应不再发表关于这个专题的东西。1630年教皇乌尔班（Urban）八世允许他发表数学而不是教义的书。在1632年，他出版了经典著作《关于两大世界体系的对话》（Dialogo dei massimi sistemi）。1633年罗马教皇法庭再次传唤他，在刑具威胁下，强迫他放弃对于太阳中心论的拥护。他再度被禁止发表东西，而且被迫过着实际上是软禁的生活。但他仍然从事于写出他多年来关于运动现象和材料力学的思想与工作。他的著作《关于两门新科学的探讨和科学证明》（Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à duenuovescienze），又叫《关于两门新科学的对话》，被秘密运到荷兰，1638年在那里出版。这是一部经典著作，在书中伽利略提出了自己的科学方法。他用以下的话为自己辩护：“我对教会和对我自己的良心的虔诚和崇敬从来没有衰减过。”
伽利略在许多科学领域里是杰出人物。他是敏锐的天文观察者。他常被称为近代发明之父；虽然他没有发明望远镜[当时诗人琼森（Ben Jonson）称之为迷惑镜]，但他一听说这种想法，就立刻造出一个来。他是显微镜的一个独立发明者，并且设计了第一个摆钟。他又设计并制成一个罗盘，其标尺自动地给出数值结果，避免了计算之烦。这种罗盘销路很广，他做了很多个出售。
伽利略是第一个重要的近代声学研究者。他提出一个声波理论，并且开始进行关于音调、谐音和弦振动的研究工作。这工作被梅森和牛顿继承，成为18世纪中数学工作的主要激发力。
伽利略的主要著作至今仍被认为是文学杰作。在他1610年写的《恒星的使者》（Sidereus Nuncius）一书里，他宣布了他的天文观测，并宣称他是哥白尼理论的支持者。这书立刻给他带来胜利，他被选为著名的罗马“山猫学院”（Academy of the Lynx-like）成员。他的两部经典著作《关于两大世界体系的对话》和《关于两门新科学的对话》写得清楚、直接、机智而有深奥，书中伽利略让一个角色提出流行的观点，另一个角色对他作巧妙而坚定的辩论，指出这些观点的错误和弱点以及新观点的力量。
伽利略对于自然界坚决地同臆测的、神秘的看法决裂，而赞成力学的和数学的观点。他还相信，科学问题不应该为神学的辩论所迷惑和蒙蔽。他的科学成就之一就是他明确地认识了科学领域而决然地把它同宗教教条割断。
伽利略相信自然界是用数学设计的。他1610年的叙述是著名的：
自然界是简单而有秩序的，它的行为是规则的而且必要的。它按照完美而不变的数学规律活动着。神圣的理智是自然界中理性事物的源泉。上帝把严密的数学必要性放入世界，人只有通过艰苦努力才能领会这个必要性。因此，数学知识不但是绝对真理，而且像圣经那样，每句每行都是神圣不可侵犯的。实际上，数学更优越，因为对圣经有许多不同的意见，而对真理则不会。
另一信条，德谟克利特的原子论，在伽利略的著作中比在笛卡尔的著作中更为明显。原子论预先假定有空的空间（笛卡尔不承认这一点）和单个的不可毁灭的原子。变化是由原子的组合和分解构成的。物体中所有质的差别，都是由原子在数量、大小、形状和位置排列上的差别造成的。原子的主要性质是不可透入性和不可毁灭性。这些性质可用来解释化学现象与物理现象。伽利略拥护原子论，把它摆在科学学说的前线。
第一个提出原子论的德谟克利特
原子论把伽利略吸引到第一性和第二性的学说。他说：“如果把耳朵、舌头和鼻子都去掉，我的意见是，形状、数量[大小]和运动将仍存在，但将失掉嗅觉、味觉和声觉，这些是从活的动物抽象出来的，照我看来，只是一些名词而已。”因此，伽利略和笛卡尔一样，一下子就剥掉了千百种现象和性质而集中到物质和运动着两种可用数学描述的东西。在一个把运动问题作为最突出最严肃的问题的世纪里，科学家认为运动是一个基本的物理现象，也许是不足为怪的。
伽利略的下一步思想，笛卡尔也曾提到过的，就是任何科学分支应在数学模型上取图案。这包括两个主要步骤。数学从公理出发，通过演绎推论而建立新的真理。据此，任何科学分支，都应从公理或原理出发，然后演绎地进行下去，还应从公理推出尽量多的结果。这个思想源于亚里士多德，他寻求的也是在数学模型指引下的演绎结构。
可是，伽利略根本上不同于希腊人，不同于中世纪的科学家甚至笛卡尔之处，在于他的寻求基本原理的方法。前人和笛卡尔都相信基本原理出自心中，心只需对任何一类现象去想，就能认出基本的真理。心的这种力量，在数学中明白地得到证实。像“等量加等量结果还相等”和“两个点确定一条直线”等公理，只要我们想到数和几何图形，就会立刻呈现出来，而且是无可争辩的真理。希腊人也曾找出一些自明的物理原理。例如“宇宙中所有物体都应有自然位置”，这条原理是再恰当没有的了。静止状态看来显然比运动状态更为自然。必须用力来推动和保持物体的运动，这也似乎是无可争辩的。相信心能够提供基本原理，并不否认观测在获得这些原理的过程中可能起的作用。但是观测只是唤起正确的原理，正如看见一个熟识的面孔，就能想起有关那个人的事情一样。
希腊和中世纪的科学家如此相信先天的基本原理，以至当观测偶然不符合时，他们就造出特殊的解释来保存原理，同时也说明异常的地方。这些人，照伽利略的说法，是首先决定世界应该如何作用着，然后把他们所看见的东西配合到他们预想的原理中去。
伽利略决定在物理学中，和在数学中相反，基本原理必须来自经验与实验。寻求正确而基本的原理的道路，是要注意什么是自然界说的，而不必注意什么是心之所愿的。他辩论道，自然界不是先造出人脑，然后把世界安排得使它能被人的智慧所接受。对于中世纪的思想家无休止地重复亚里士多德的话并且争论它的含义，伽利略给以批评说，知识来自观测，不来自书本，关于亚里士多德的辩论是无用的。他说：“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的……”
有些文艺复兴时代的思想家以及伽利略的同时代人弗朗西斯·培根也得出同样的结论：实验是必要的。在他的新方法这一特殊方面，伽利略并没有走在别人前面。但是，笛卡尔却认为伽利略依赖于实验的办法是不明智的。笛卡尔说，感官所及的事情只能引向幻觉，只有理性能透过幻觉。从内心所提供的天生的一般原理，我们能推出自然界的特殊现象，并且理解它们。伽利略确曾领会到，人可能从实验得出不正确的原理，因而从这原理得出的推论也是不正确的。因此，他建议用实验去考核推理的结果，并且去获得基本原理。
就实验而论，伽利略确是一个过渡人物。他还有50年后的牛顿，都相信少数关键性实验应该能产生正确的基本原理。不仅如此，有许多伽利略叫做实验的，实际上是思想中的实验，这就是说，他依靠日常经验去想象如果真作实验的话，应该得到什么结果，于是他就坚信不疑地作出结论，好像他曾真正作过实验一样。
当他在《关于两大世界体系的对话》中描写到一个球从航行着的船的桅杆顶上掉下来的运动时，辛普利丘（Simplico，书中对话人之一）问他是否作过实验。伽利略答道：“没有作过，我不需要作，即使没有任何经验，我也能肯定是这样的，因为它不能不是这样。”事实上，他说他很少作实验，作实验主要是为了驳斥那些不遵循数学的人。
这事的真实情况是伽利略对于自然有一些成见，这使他相信有少许实验就足够了。例如，他相信自然界是简单的，因此当他考虑自由落体以递增的速度下降时，他断定速度增加在下降的每一秒时间内是一样的，这是最简单的“真理”。他也相信自然界是用数学设计出来的，因此任何数学定律，即使只是在很有限的实验中似乎是对的，在他看来就是对的。
伽利略和惠更斯、牛顿一样，认为科学工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用要大。对伽利略说来，由一个单独的原理推出大量定理所引起的自豪感，不亚于该原理本身的发现所引起的自豪感。为近代科学造型的人——笛卡尔、伽利略、惠更斯和牛顿（还可加上哥白尼和开普勒）——都是以数学家的身份去探索自然，无论在一般方法上或具体研究上都是这样。他们是悬拟式的思想家，期望通过直观或通过关键性的观察和实验去了解广泛的、深刻的（但是简单的）、清晰而且不变的数学原理，然后从这些基本原理导出新的定律，完全和数学本身构造它的几何的方式一样。大量的活动是演绎部分，整个的思想体系就是这样导出的。
17世纪的大思想家所想象的科学的正当程序，后来确实证明是有益的。用理性去寻求自然界定律，到了牛顿的时代，在薄弱的观察和实验的基础上，导出了极有价值的结果。16、17世纪的巨大科学成就是在天文学和力学方面，关于前者，观测只给出了很少一点新鲜的东西；关于后者，实验的结果很难说是惊人的，而且确实是没有决定性的。但是，数学理论却达到了广博与完善的地步。在后来的两个世纪中，科学家根据极少甚至琐碎的观测和实验，给出了深刻而广泛的自然定律。
伽利略、惠更斯和牛顿都期望有少数实验就够了。这期望是容易理解的，因为他们都相信自然界是用数学设计的，所以没有理由不按照数学家研究数学的程序去进行科学的研究。正如兰德尔（John Herman Randall）在《近代思想的形成》（Making of the Modern Mind）一书中所说：“科学产生于用数学解释自然这一信念......”
但是，伽利略确实从经验中得出几个原则，而且他的研究方式截然不同于他的前辈。他断定人必须深入到现象的基本中去，而把后者作为起点。在《关于两门新科学的对话》中，他说，处理无穷多样的重量、形状和速度是不可能的。他曾经观察到不同的物体在空气里降落的速度差异，比在水里的要小。介质越稀薄，差异越小。“当观察到这点之后，我就得出结论：在一个完全没有阻力的介质中，所有物体以同一速度降落。”伽利略在这里所做的是去掉偶然的或次要的效应，得到首要的效应。
当然，实际的物体是在有阻力的介质中降落的。他的回答是：“……因此，为了科学地进行处理，必须割掉这些困难，在无阻力的情形下，发现并且证明这些定理之后，再按照实际经验所给予的限制来应用这些定理。”
去掉空气阻力和摩擦力之后，伽利略找出了在真空里运动的基本定律。这样，他不仅用物体在空的空间中运动的概念来驳斥亚里士多德，甚至驳斥笛卡尔，而且他所做的正如数学家在研究实际图形时所做的那样。数学家从线上去掉分子构造、颜色和厚度而得到线的基本性质，然后就集中研究这些性质。数学的抽象方法离开了现实，但当回到现实时，却比所有因素都考虑进去更为有力。
伽利略的下一个原理，是关于数学本身的应用，但只是一个特殊方式的应用。亚里士多德派和中世纪的科学家都倒向质的方面，他们认为质是基本的。他们研究质的获得与丧失，辩论质的意义。伽利略和他们不同，主张寻求量的公理。这个改变最为重要。举个简例。亚里士多德派说，球的降落是因为它有重量；它落在地上，是因为任何物体都要找它的自然位置；而重物的自然位置是地球的中心。这些原理都是属于质的。甚至开普勒的第一运动定理——行星的轨道是椭圆——也是属于质的。与此相反，让我们来看这一叙述：球在降落中每秒钟的速度，以英尺计，是32乘以开始降落后所经历的秒数，用符号表示便是v=32t。这是一个关于球如何降落的量的叙述。伽利略着意于找出这样的叙述作为公理，并期望用数学方法得出一些推论，这些推论将仍给出量的知识。
决定去寻求用公式表达的量的知识，带来了另一个根本的决定。亚里士多德派相信，科学的任务之一是要解释事情为什么发生，解释一词意味着把现象的原因挖掘出来。“物体降落，因为它有重量”这一叙述给出降落的直接原因，而“物体找它的自然位置”这一叙述则给出最后原因。但是，量的叙述v = 32t，不管它价值如何，没有解释物体为什么降落，它只说明速率是怎样随着时间而变的。换句话说，公式不解释，只描写。伽利略寻求的自然知识是描写性的。他在《两门新科学》中说：“落体运动的加速度的原因何在，不是研究工作的必要部分。”更一般些，他指出，他将研究并证明运动的若干性质，而不管其原因是什么。实证的科学探讨，要同最后原因的问题分开，对于物理原因的忖度应该放弃。
对伽利略的这个原理的初次反应，势必是否定的。用公式描写自然现象，只能说是第一步。亚里士多德派好像实际上已掌握了科学的真正作用，这就是解释种种现象为什么发生。甚至笛卡尔也提出抗议，他说：“伽利略关于真空中落体所说的一切都是没有根据的，他应该首先定出重量的本质。”笛卡尔又说，伽利略应该在最后的理由上着想。但是，伽利略追求描写的决定是历来关于科学方法论的最深刻最有成效的思想。
尽管亚里士多德派已经谈到一些关于质的名词，例如流动性、刚性、要素、自然位置、自然的和猛烈的运动，以及潜势等，伽利略却选择了一组全新的可以测量的概念，使得它们的测度可以用公式联系起来。这组概念包括距离、时间、速度、加速度、力、质量和重量等。这些概念我们是太熟悉了，不觉得有什么奇怪，但在伽利略的时代，这是彻底的改造，至少作为基本概念来说是如此。这些概念在了解和掌握自然的努力中，已证明是最有帮助的。
我们已经描述出伽利略程序的主要特点。其中有些思想是别人曾经提出的，有些则完全是他自己的创造。但是，伽利略的卓越之处在于他非常清楚地看出当时科学研究工作中的错误和缺点，彻底地抛弃了旧的方式，而又非常明白地制定了新的程序。另外，在应用这些程序于运动问题时，他不但表演了这个方法，而且成功地获得了辉煌的成果——换句话说，他证明了他的程序是有效的。他工作的完整、思想和表达的明晰以及论辩的力量，影响了几乎所有他的同辈和后辈。伽利略是近代科学方法论的奠基人。他完全意识到他的成就，别人也意识到他的成就。哲学家霍布斯谈到伽利略时说：“他是第一个给我们打开通向整个物理领域的门的人。”
牛顿全盘接受了伽利略的程序。牛顿断言，需要用实验来提供基本定律。他又明白知道，在得到一些基本原理之后，科学的作用就是从这些原理推出新的事实。他在《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）的序文中说：
牛顿在《原理》中说，他的目的是要发现并宣告“一切事物按测度、数目和重量安排”的准确方式。牛顿有充分理由来强调与物理解释针锋相对的量的数学定律，因为在他的天体力学里，中心的物理概念是引力，而引力的作用是完全不能用物理的术语解释的。牛顿不给解释，只给出一个显明而有用的数量公式，表明引力是怎样作用的。这就是为什么他在《原理》的开端说：“因此，我计划在这里只给出这些力的数学概念，不考虑它们的物理原因和根底。”在书接近末尾的地方，他又重复他的思想：
放弃物理的机械解释而改用数学的描写，甚至杰出的科学家也感到震惊。惠更斯认为引力的概念是“荒谬的”，因为穿越空的空间的作用，排除了任何机械的解释。他很惊讶牛顿竟然自找麻烦去作这样多费力的计算，其中除了引力的数学原理以外，别无根据。莱布尼茨攻击引力，说它是一个无实质而又不可解释的力量。约翰·伯努利（John Bernoulli，雅各布·伯努利的弟弟）也否定它，认为它“背叛了那些习惯于除了无可争辩和论据确凿的物理原理而外，不接受任何物理原理的思想”。但是，只有依靠数学的描写（即使完全缺乏物理的了解时也依靠它）才使得牛顿的惊人贡献成为可能，更不用说后来的发展了。
由于科学变得沉重地依赖于数学，所以扩展数学领域和数学技术的人是科学家；而科学所提供的种种问题，给数学家的创造性工作指出了许多重要的方向。
三、函数概念
按照伽利略程序进行的科学探讨，第一个数学收获来自对运动的研究。这个问题吸引了17世纪的科学家和数学家。在17世纪的早期，特别是在伽利略给太阳中心论增添了证据之后，开普勒的天文学已为一般人所接受，但他的椭圆运动定律只是近似的。作用于任何两个物体间的引力的概念，已由开普勒（还有别人）提示过。如何改进计算行星位置的问题还未解决。开普勒得到定律主要是依靠用曲线去拟合天文数据，但没有根据基本的运动定律取解释为什么行星沿着椭圆轨道运动。关于如何从运动原理导出开普勒定律这一基本问题，是一个明显的挑战。
改进天文学理论，还有一个实用的目的：水手们需要测定纬度和经度的准确方法。纬度可以通过观察太阳或恒星来确定，但测定经度则较困难。16世纪的测经度的办法经常产生大约500英里的误差。大约1514年之后，经度是用月球对一些恒星的相对方向来确定的。不过，这个方法也不准确。就是在牛顿的时代，关于月球位置的知识仍是这样得不准确，以至用表册来确定船在海中的位置，可以导致大到100英里的误差。1675年，英王查理（Charles）二世在格林尼治（Greenwich）建立起皇家观测台，以期对月球运动得到较好的观测，并且把该台作为测定经度的固定站。1712年，英国政府设立一个“经度测定委员会”，并且设置高达两万英镑的奖金来征求测量经度的方案。
格林尼治天文台
17世纪的科学家也面临着解释地球运动问题。既然地球不再是宇宙的中心，为什么物体应该待在地球上呢？为什么下降的物体要落到地球上呢？不仅如此，从一切运动，例如抛射体的运动来看，好像地球是静止的。这些问题激起了许多人的注意，其中包括卡尔达诺、塔尔塔利亚、伽利略和牛顿。抛射体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹的速度对于高度和射程的影响都是基本的问题，因而当时的亲王们花了大量的钱来谋求解决。科学家们想到，因为宇宙据信是按照一个宏伟的计划造成的，所以能解释地球运动的原理，也能解释天体的运动。
从各种运动问题的研究中出现了一个特殊的问题：如何设计一些较为准确的方法来测量时间？从1348年以后通用的机械钟是不够准确的。佛兰芒人（Flemish）的制图家弗里修斯（Gemma Frisius，1508—1555）曾提出用时钟来测定经度。但是截止到1600年，还没有准确的、耐久的、适用于航海的钟。
伽利略注意到摆的往复所用的时间是固定的，而且看来是与摆幅无关的。他设计了摆钟，并且叫他的儿子造出一个来。但是对单摆做出基本工作的，却是胡克（Robert Hooke）和惠更斯。适用于航海的钟终于由哈里森（JohnHarrison，1693—1776）在1761年设计出来，在18世纪末开始使用。在这之前，由于没有适当的钟，所以关于月球运动的准确观测还是那个世纪的主要科学问题。
伽利略摆钟手稿
数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间的关系——的概念。伽利略创立近代力学的著作《两门新科学》几乎从头至尾包含着这个概念。伽利略用文字和比例的语言表达函数关系。例如，“两个等体积圆柱体的面积（底面积除外）之比，等于它们高度之比的平方根。”又如：“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”如：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。”“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比。”这些话清楚地表明他是在讨论变数和函数，只差把文字叙述表为符号形式这短短的一步了。不久之后，伽利略关于落体距离的叙述就写为s = kt²，关于沿斜板下滑时间的叙述就写为t = kl。
在17世纪引进的绝大部分函数，在函数概念还没有充分认识以前，是当作曲线来研究的。例如，关于log x、sin x和等初等超越函数的研究就是这样。伽利略的学生托里拆利（Evangelista Torricelli，1608—1647）在1644年的一封信里，描述他对曲线的研究（他的原稿直到1900年才刊出）。他是受到当时的对数工作的启发而考虑这条曲线的。笛卡尔在1639年也碰到过这条曲线，但没有谈到它和对数的关系。正弦曲线是通过罗贝瓦尔关于旋轮线的研究，作为旋轮线的伴侣曲线进入数学的。沃利斯在他的《力学》（Mechanica，1670）中给正弦曲线画了两个周期的图。那时的三角函数表和对数函数表是非常精确的。
另一与此有关的事，是用运动概念来引进旧的和新的曲线。在希腊时代，有少数曲线例如割圆曲线和阿基米德螺线，是用运动定义的。但在那时这些曲线不属于正规数学的范围。到了17世纪，看法就不同了。梅森在1615年把前人已知的曲线cycloid（旋轮线）定义为当车轮沿地面滚动时轮上一个定点的轨迹。伽利略证明把物体斜抛向空中时，路径是一个parabola（抛物线），因而把这曲线看作动点的轨迹。
把曲线看作动点的路径这一概念，通过罗贝瓦尔、巴罗和牛顿而获得明显的认可与接受。牛顿在《求曲边形的面积》（Quadrature of Curves，写于1676年）中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的。线是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动……这样的起源，真正发生在事物的本性中，并且是日常从物体的运动中看见的。”
逐渐地就给这些曲线代表的各类函数引进了名词和记号。但还存在着许多没有认识到的细微的难点。例如，在17世纪中，函数（x是正负整数或分数）的使用，已经很普通了。那时假定（此假定一直到19世纪定义了无理数之后才取消）此函数对于无理数也有意义。因此人们对于形如的式子没有发生过疑问，而默认它的值位于同样形式的两个数之间，其中一个的指数是小于的任何有理数，另一个的指数是大于的任何有理数。
笛卡尔提的几何曲线和机械曲线的区别，引出了代数函数和超越函数的区别。幸而笛卡尔的同时代人没有注意到他排斥机械曲线的事。通过求面积、求级数和，以及进入微积分里的其他运算，人们发现并研究了许多超越函数。詹姆斯·格雷戈里在1667年证明圆扇形的面积不能表为圆半径和弦的代数函数，从而明确了代数函数和超越函数的区别。莱布尼茨证明sin x不可能是x的代数函数，无意中证明了詹姆斯·格雷戈里寻求的结果。
苏格兰数学家格雷戈里
17世纪中，函数概念的定义以詹姆斯·格雷戈里在他的论文《论圆和双曲线的求积》（Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura，1667）中所给出的最为明显。他定义函数是这样一个量：它是从一些其他的量经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。这最后一句话的意思，据他的解释是除了五种代数运算以外，必须再加上一个第六种运算，即趋于极限的运算。詹姆斯·格雷戈里的定义被遗忘了，但无论如何，不久就证明他的定义太窄，因为函数的级数表示式不久就广泛地使用开了。
自从牛顿于1665年开始微积分的工作之后，他一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系。莱布尼茨在他1673年的一篇手稿里用“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量——例如切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等。至于该曲线本身，据他说是由一个方程式给出的。莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”，这最后一词是用在曲线族中的。约翰·伯努利自1697年起就谈到一个按任何方式用变量和常量构成的量（“任何方式”一词据他说是包括代数式子和超越式子而言）。到1698年他采用了莱布尼茨的“x的函数”一词作为他这个量的名字。莱布尼茨在他的著作《历史》（Historia，1714）中，用“函数”一词来表示依赖于一个变量的量。
瑞士数学家约翰·伯努利
在符号方面，约翰·伯努利利用X或ξ表示一般的x的函数，但到了1718年他又改写为ϕx。莱布尼茨同意这样做，但又提出用x、x²等来表示x的函数，其上标是在同时考虑几个函数时用的。记号f(x)是欧拉于1734年引进的。从此函数概念就成了微积分里的中心概念。
变量与函数的引入将数学从常量时期代入了变量时期。
下一讲：微积分的创立