中學代數式的問題,可以概括為四大類:計算,求值,化簡,論證 .解代數式問題的關鍵是通過代數運算,把代數作恆等變形.代數式恆等變形的重要手段之一是因式分解.它貫穿、滲透在各種代數式問題之中.因式分解是在學習有理數和整式四則運算的基礎上進行的.它為以後學習分式運算、解方程和方程組及代數式和三角函數式的恆等變形提供必要的基礎.所以因式分解是中學代數教材的一個重要內容.它具有廣泛的基礎知識的功能.由於進行因式分解時要靈活綜合運用學過的有關數學基礎知識,並且因式分解的途徑多, 技巧性強,逆向思維對中學生來講具有一定的深廣度,所以因式分解又是發展學生智能、培養能力、深化學生逆向思維的良好載體.正因為因式分解具有良好的培養能力和思維的功能,所以因式分解又是中學代數教材的一個難點.
名詞釋義
因式分解,就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎,它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多,除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外,還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。
一. 提公因式法:一般地,如果多項式的各項有公因式可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.提出多項式的公因式以後,另一個因式的確定方法是:用原來的多項式除以公因式所得的商就是另一個因式。
二. 運用公式法:如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做運用公式法.平方差公式:兩數平方差,等於這兩數的和乘以這兩數的差,字母表達式: a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式:兩個數的平方和,加上(或者減去)這兩個數的積的 2 倍,等於這兩個數的和(或者差)的平方.字母表達式: a2±2ab+b2=(a±b)2立方和與立方差公式:兩個數的立方和(或者差)等於這兩個數的和(或者差)乘以它們的平方和與它們積的差(或者和)。
三. 十字相乘法分解因式:主要用於某些二次三項式的因式分解.對於一個一般形式的二次項的係數不是 1 的二次三項式 ax2+bx+c,用十字相乘法分解因式的關鍵:找出四個因數,使 a1a2=a, c1c2=c, a1c2+a2c1=b。
典題示例
一、提公因式法:ma+mb+mc=m
二、運用公式法:
三、分組分解法
1、分組後能直接提公因式
2、分組後能直接運用公式
四、十字相乘法
1、二次項係數為 1 的二次三項式
2、二次項係數不為 1 的二次三項式
3、二次項係數為 1 的二次多項式
4、二次項係數不為 1 的二次多項式
五、換元法
六、添項、拆項、配方法。
七、待定係數法。
經驗之談:
一.因式分解的一般步驟:
①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;
②如果各項沒有公因式,那麼可以嘗試運用公式來分解;
③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組分解法或其他方法分解.
二.從多項式的項數來考慮用什麼方法分解因式.
①如果是兩項,應考慮用提公因式法,平方差公式,立方和或立方差公式來分解因式.
②如果是二次三項式,應考慮用提公因式法,完全平方公式,十字相乘法.
③如果是四項式或者大於四項式,應考慮提公因式法,分組分解法.
三.因式分解要注意的幾個問題:
①每個因式分解到不能再分為止.
②相同因式寫成乘方的形式.
③因式分解的結果不要中括號.
④如果多項式的第一項係數是負數,一般要提出“-”號,使括號內的第一項係數為正數.
⑤因式分解的結果,如果是單項式乘以多項式,把單項式寫在多項式的前面.