二項分佈的理論基礎、應用及Python實踐

二項分佈是概率統計中非常基礎、非常實用的一種分佈，可以說它在我們的生活中無所不在。它說明了這樣一種現象：在給定的試驗次數中，某一結果會發生多少次。

比如：

這個月有多少天會刮北風？

今年有多少天會下雨？

經過一個路口100次，有多少次會是綠燈？

一年之中會有多少次出門就見狗？

一、伯努利分佈

伯努利分佈是二項分佈的基礎，它只有兩種狀態，比如拋硬幣的時候，結果只有正面和反面兩種情況，且兩種情況的概率之和為1。也就是說，當我們給定​正面朝上的概率的時候，這個分佈的一切就都確定了。

我們以0和1來標識這兩種可能的結果，那麼其概率函數為：

那麼其期望值為：

其方差為：

二、排列組合

1. 排列

從n個對象中有序地挑選出r個對象，我們稱之為排列，我們用以下公式統計其可能產生的排列數：

2. 組合

考慮另一種情況，仍然是從n個對象中抽取​r個對象，但是這次我們不考慮其順序，這種過程我們稱之為組合。我們用以下公式統計其可能產生的組合數：

可以看出，這是n選r的排列數除以r的排列數。上述公式又被稱作二項係數，通常用“n選r”表示。

3. Python計算

那麼接下來我們用Python來寫一個函數，用來計算不同參數下的排列與組合的數量。在排列組合的計算中，我們可能會輸入兩個參數：總樣本量n、需要抽取的樣本數​k。

那麼我們就定義如下函數：

<code>
from
 functools 
import
 reduce


def
 
PC
(n, k)
:

    
"""
    計算並返回排列組合數
    """
     
    
if
 n <= 
0
 
or
 k 
0
 
or
 n < k:
        print( 
'Wrong Input!'
)
        
return
 
None
    
     
    
if
 k == 
0
:
        
return
 
1
, 
1
    
     
    series_asc = list(range(
1
, n+
1
))
    series_desc = sorted(series_asc, reverse=
True
)
    
     
    permutation = reduce(
lambda
 x, y: x*y, series_desc[:k])
    
     
    perm2 = reduce(
lambda
 x, y: x*y, series_asc[:k])
    combination = int(permutation / perm2)
        
    
return
 permutation, combination/<code>

隨手測試幾個：

<code>
for
 n in 
range
(
1
, 
5
):
    
for
 k in 
range
(
1
, 
3
):
        
print
( 
'-'
*
10
)
        
print
(n, k)
        
print
(PC(n, k))/<code>

結果是正確的：

<code>
----------
1
 
1
(1,
 
1
)
----------
1
 
2
Wrong
 
Input!
None
----------
2
 
1
(2,
 
2
)
----------
 
2
 
2
(2,
 
1
)
----------
3
 
1
(3,
 
3
)
----------
3
 
2
(6,
 
3
)
----------
4
 
1
(4,
 
4
)
----------
4
  
2
(12,
 
6
)
/<code>

三、二項分佈

回顧伯努利分佈的情況：一次實驗只有可能有兩種結果，分別用0和1來表示，其中結果１發生的概率為p。那麼在n次獨立實驗中，不考慮順序的情況下，結果1出現​k次的概率是多少？

首先，因為n次實驗相互獨立，所以根據乘法定律，任何一種結果１出現​k次的場景發生的概率均為：

然後，我們需要考慮結果為１的次數剛好為k的情況有多少種。很明顯，這就是一個伯努利試驗的組合問題，n次實驗中有k次結果為１的情況共有“n選k”種，兩者相乘就是該事件發生的概率。因此：

Python計算

那麼我們來用Python實現一個計算二項分佈概率的小工具，在這裡，我們的輸入參數包含總試驗次數n、正樣本發生的次數k以及正樣本發生的概率p​：

<code>
def
 
binominal_prob
(n, k, p)
:

    
"""
    計算並返回二項分佈中某結果發生的概率
    """
     
    p_base = p ** k * (
1
-p) ** (n-k)
    
     
     
    combination = PC(n, k)[
1
]
    p_result = p_base * combination
    
    
return
 p_result/<code>

那麼接下來，我們利用我們剛剛寫好的小工具，來看一下在10次試驗中，不同的概率對應的二項分佈是什麼樣的。

<code>
probs
 = [binominal_prob(
10
, i, 
0.5
) for i in range(
11
)]/<code>

我們將結果畫出來看看：

<code>%matplotlib 
inline
import
 numpy 
as
 np
import
 matplotlib.pyplot 
as 
 plt
import
 seaborn 
as
 sns
sns.
set
()

probs = [round(i/
10
,
1
) 
for
 i 
in
 range(
1
, 
10
)]
n = 
20

plt.figure(figsize=(
16
, 
6
))
for
 p 
in
 probs:
    dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) 
for
 i 
in
 range(n+
1
)]
    plt.plot(range(n+
1
), dist_probs, label=
'p={0}'
.format(p))
plt.legend()
plt.title(
'Binominal Distributions of Different P value'
)
plt.savefig(
'binominal.jpg'
)
plt.show()/<code>

或者我們使用交互式的繪圖庫plotly來嘗試同樣的事情：

<code>
import
 
plotly.graph_objects as go

probs
 = 
[round(i/10,1) for i in range(1, 10)]
n
 = 
20

fig
 = 
go.Figure()
for
 
p in probs:
    
dist_probs
 = 
[binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)]
    
fig.add_trace(go.Scatter(
        
x
=
list(range(n+1)), 
        
y
=
dist_probs, 
        
name
=
'p={0}'.format(p)
    
))
 
fig.show()
/<code>

可以看到，plotly實現的效果更加靚麗，且額外支持了動態交互，在這裡我就選擇把p=0.8這條線隱藏了起來。

四、一個利用極大似然估計求二項分佈概率參數的例子

我們現在想象一種情況，有一枚分佈不太均勻的硬幣，每次拋向空中後，落地為正面的概率為p，任意兩次實驗之間相互獨立。現在我們做了４次實驗，其中有三次正面朝上，那麼請問p的值為多少？

我們之前曾經提到過極大似然估計，在這裡我們用同樣的思路去估計p​的取值。極大似然估計的思想就是尋找一個參數，使得當前結果發生的概率最大，那麼我們先定義出來當前結果發生的概率公式：

對其求導並使導數為０，有：

可得，當p=0.75時，P(X=3)=0.422達到最大（另一個解​p=0顯然不可能，因為硬幣朝上已經發生了，並不是“不可能事件”；另外考慮不同區間導數的取值也可以得到答案）。