二項分佈是概率統計中非常基礎、非常實用的一種分佈，可以說它在我們的生活中無所不在。它說明了這樣一種現象：在給定的試驗次數中，某一結果會發生多少次。
比如：
這個月有多少天會刮北風？
今年有多少天會下雨？
經過一個路口100次，有多少次會是綠燈？
一年之中會有多少次出門就見狗？
一、伯努利分佈
伯努利分佈是二項分佈的基礎，它只有兩種狀態，比如拋硬幣的時候，結果只有正面和反面兩種情況，且兩種情況的概率之和為1。也就是說，當我們給定正面朝上的概率的時候，這個分佈的一切就都確定了。
我們以0和1來標識這兩種可能的結果，那麼其概率函數為：
那麼其期望值為：
其方差為：
二、排列組合
1. 排列
從n個對象中有序地挑選出r個對象，我們稱之為排列，我們用以下公式統計其可能產生的排列數：
2. 組合
考慮另一種情況，仍然是從n個對象中抽取r個對象，但是這次我們不考慮其順序，這種過程我們稱之為組合。我們用以下公式統計其可能產生的組合數：
可以看出，這是n選r的排列數除以r的排列數。上述公式又被稱作二項係數，通常用“n選r”表示。
3. Python計算
那麼接下來我們用Python來寫一個函數，用來計算不同參數下的排列與組合的數量。在排列組合的計算中，我們可能會輸入兩個參數：總樣本量n、需要抽取的樣本數k。
那麼我們就定義如下函數：
<code>from functools import reduce
def PC(n, k):
"""
計算並返回排列組合數
"""
# 非法輸入返回空
if n <= 0 or k < 0 or n < k:
print('Wrong Input!')
return None
# ｋ為０時，排列組合的情況恆為１
if k == 0:
return 1, 1
# 生成正序及倒序的序列
series_asc = list(range(1, n+1))
series_desc = sorted(series_asc, reverse=True)
# 排列
permutation = reduce(lambda x, y: x*y, series_desc[:k])
# 組合
perm2 = reduce(lambda x, y: x*y, series_asc[:k])
combination = int(permutation / perm2)
return permutation, combination/<code>隨手測試幾個：
<code>for n in range(1, 5):
for k in range(1, 3):
print('-'*10)
print(n, k)
print(PC(n, k))/<code>結果是正確的：
<code>---------- 1 1 (1, 1) ---------- 1 2 Wrong Input! None ---------- 2 1 (2, 2) ---------- 2 2 (2, 1) ---------- 3 1 (3, 3) ---------- 3 2 (6, 3) ---------- 4 1 (4, 4) ---------- 4 2 (12, 6)/<code>
三、二項分佈
回顧伯努利分佈的情況：一次實驗只有可能有兩種結果，分別用0和1來表示，其中結果１發生的概率為p。那麼在n次獨立實驗中，不考慮順序的情況下，結果1出現k次的概率是多少？
首先，因為n次實驗相互獨立，所以根據乘法定律，任何一種結果１出現k次的場景發生的概率均為：
然後，我們需要考慮結果為１的次數剛好為k的情況有多少種。很明顯，這就是一個伯努利試驗的組合問題，n次實驗中有k次結果為１的情況共有“n選k”種，兩者相乘就是該事件發生的概率。因此：
Python計算
那麼我們來用Python實現一個計算二項分佈概率的小工具，在這裡，我們的輸入參數包含總試驗次數n、正樣本發生的次數k以及正樣本發生的概率p：
<code>def binominal_prob(n, k, p):
"""
計算並返回二項分佈中某結果發生的概率
"""
# 任一ｋ次成功的序列出現的概率
p_base = p ** k * (1-p) ** (n-k)
# ｎ次試驗中ｋ次成功的組合數
# 直接用上邊我們編寫的排列組合函數來求解
combination = PC(n, k)[1]
p_result = p_base * combination
return p_result/<code>那麼接下來，我們利用我們剛剛寫好的小工具，來看一下在10次試驗中，不同的概率對應的二項分佈是什麼樣的。
<code>probs = [binominal_prob(10, i, 0.5) for i in range(11)]/<code>
我們將結果畫出來看看：
<code>%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
probs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]
n = 20
plt.figure(figsize=(16, 6))
for p in probs:
dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)]
plt.plot(range(n+1), dist_probs, label='p={0}'.format(p))
plt.legend()
plt.title('Binominal Distributions of Different P value')
plt.savefig('binominal.jpg')
plt.show()/<code>
或者我們使用交互式的繪圖庫plotly來嘗試同樣的事情：
<code>import plotly.graph_objects as go
probs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]
n = 20
fig = go.Figure()
for p in probs:
dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)]
fig.add_trace(go.Scatter(
x=list(range(n+1)),
y=dist_probs,
name='p={0}'.format(p)
))
fig.show()/<code>
可以看到，plotly實現的效果更加靚麗，且額外支持了動態交互，在這裡我就選擇把p=0.8這條線隱藏了起來。
四、一個利用極大似然估計求二項分佈概率參數的例子
我們現在想象一種情況，有一枚分佈不太均勻的硬幣，每次拋向空中後，落地為正面的概率為p，任意兩次實驗之間相互獨立。現在我們做了４次實驗，其中有三次正面朝上，那麼請問p的值為多少？
我們之前曾經提到過極大似然估計，在這裡我們用同樣的思路去估計p的取值。極大似然估計的思想就是尋找一個參數，使得當前結果發生的概率最大，那麼我們先定義出來當前結果發生的概率公式：
對其求導並使導數為０，有：
可得，當p=0.75時，P(X=3)=0.422達到最大（另一個解p=0顯然不可能，因為硬幣朝上已經發生了，並不是“不可能事件”；另外考慮不同區間導數的取值也可以得到答案）。
