柏拉圖認為：理念世界是永恆的真實存在，實在世界不過是理念世界的幻影！畢達哥拉斯，康托爾也持同樣觀點！
通常認為，整個數學歷史上或明或暗都有柏拉圖主義的影響，特別是19世紀，柏拉圖主義在數學實踐中幾乎佔了統治地位。柏拉圖主義是這麼一種觀點：數學研究的對象儘管是抽象的，但卻是客觀存在的，它們是不依賴於時間、空間和人的思維而永恆存在的，數學家們提出的概念不是創造，而是對這種客觀存在的描述。
圖片1 柏拉圖與亞里士多德
柏拉圖主義
柏拉圖（公元前427-前347年）是有很大影響的古希臘唯心主義哲學家，他的老師蘇格拉底和弟子亞里土多德都是哲學史上有名的人物。柏拉圖在政治上提出"理想國"的理論，主張在理想國里人分為金、銀與銅鐵三等，奴隸是三等之外的牲畜，而國家的統治者應當具有廣博知識並善於深刻思考的"哲學王"。但是，他的政治理想不但沒有實現，還被敘拉古國王抓起來貶為奴隸，所幸他的一個學生將他贖了回來。回到雅典後，柏拉圖創辦了被稱為"柏拉圖學園"的學校，並存世九百多年。
柏拉圖認為：存在著兩個世界，一個是人們可以看到、聽到、摸到的由具體事物組成的實物世界，另一個是理智才能把握的理念世界。具體的實在世界是相對的、變化的，而理念世界則是絕對的、永恆的。比如像你我這樣的具體的人、像我們坐的具體的椅子，屬於實在世界。而抽象的"人"、"椅子"，屬於理念世界。理念世界是永恆的真實存在，實在世界不過是理念世界的幻影！ Comment by 歐陽婧: 紅色可以考慮加粗
圖片2 柏拉圖與理念世界
數學中的柏拉圖主義
柏拉圖很重視數學的研究，他認為：數和幾何圖形都是永存於理念世界的絕對不變的東西。他主張通過研究學習數學來認識理念世界，甚至說認識不到數學的重要性的人"像豬一樣"。他認為，數學概念如1、2、3等是人生前靈魂中固有的東西，得自於理念世界。而在生活中，由於具體經驗的啟發或通過學習，喚醒了沉睡的記憶，回憶起了理念世界的知識。柏拉圖的思想對後人有很大影響。許多卓越的數學家，比如集合論的創始人康托爾就認為數學概念是獨立於人類思維活動的客觀存在，這與柏拉圖的看法是一致的。
和畢達哥拉斯類似，柏拉圖仍然是顛倒了具體事物與抽象概念的關係。事實上，概念不是本來就有的，而是人在與具體事物打交道時產生的。為了建立合理可信的數的理論基礎，數學家建議多種不同的方案。這隻能表明人們的思維活動形成了從不同角度反映現實的概念體系，而不是同憶起了共同的理念世界的真理。當然，柏拉圖的"認識即回憶"、"現實世界是理念世界的幻影"這些觀點，數學家是很少有人接受的。所謂數學中的柏拉圖主義，只不過是主張或認為數學對象如自然數、點、直線是客觀存在的東西而已。例如，柏拉圖主義認為，自然數總體是存在的，線段上的無窮多個點是存在的。
數學家有柏拉圖主義的觀點，看來倒不是因為讀了柏拉圖的著作。許多數學家不一定知道柏拉圖是什麼觀點。當數學家痴迷地進行著創造性的思維活動時，他自然而然地產生一種感覺或感情，覺得自己所探索的不是抽象概念之間的關係，而是客觀世界的真理。數學家在引進一個新概念時，他會認為自己是發現了本已存在的東西。這種感覺產生的原因除了由於獻身科學的熱情之外，還由於數學的特點。數學結論雖然是人推出來的，但它有客觀性。一個方程有多少根，有哪幾個根，是客觀的。一個定理，可能被不同的人同時發現。就像它在有人類之前就隱藏在什麼地方一樣。
圖片3 貝克萊
柏拉圖主義的批判發展
從亞里土多德開始的唯物主義哲學家們始終在批判柏拉圖主義，但這種批判在數學領域收效甚微。原因除了上面所說的之外，還由於對"存在"、"客觀存在"等概念始終說不清。"存在"這個概念，數學家之間，哲學家之間，數學家與哲學家之間，都有著不同的理解。哲學家們兩千多年來，也始終沒有給"存在"下一個嚴格的定義，而且似乎也難於定義。不但沒有統一的定義，就連自圓其說的定義也沒有。
主觀唯心主義者貝克萊主張"存在即被知覺"。按這個定義，數、點線都不存在了，因為看不見，摸不著，聽不到，嗅不出。但是，唯物主義者難道同意用主觀唯心主義來批判柏拉圖主義嗎？存在主義哲學家薩特主張"存在是人的存在"。按這個定義，抽象的數學概念就都不是存在的了。但是，唯物主義者難道同意用存在主義來批判柏拉圖主義嗎？唯物主義主張"世界是物質的，物質是唯一的存在"。如果把存在定義為物質，當然抽象的數學對象就不存在了。因為不是物質。但是，為什麼只有物質才存在呢？這與對物質的理解有關。當愛因斯坦的相對論揭示出物質與能量可以轉化時，當物理學家提出場的理論時，有人說唯物主義錯了，因為世界上不僅有物質，還有場，還有能等等。列寧反駁說：唯物論者所說的物，並沒有具體地指明是什麼，只是客觀存在、不以人的意志為轉移的、構成這個世界的東西場與能都是物質的存在形式。這就是表明：無論科學有了任何新成就，都不足以反駁唯物論。科學發現世界上有什麼存在，所發現的東西都可以叫做物質。關鍵在於物質是客觀的。這樣一來，主張數學對象存在的人就會說：數學對象恰好是客觀的，不以人的意志為轉移的。這是真的。
圖片4 列寧與物質
數學家可以引人概念，但概念的性質如何卻由不得數學家自己。現代科學提出的一種觀點認為：世界萬物由三要素構成——物質、能量與信息。那麼，數學對象可不可以作為信息而存在呢？此外，數學家所理解的存在，和哲學上所謂存在並不是一回事。在數學家看來，凡是按一定法則證明了存在的東西就是存在的。不過，對於所使用的法則是什麼，數學家之間也有爭論。
柏拉圖主義對於數學的發展，是起著積極作用還是消極作用呢？這也是一個複雜的問題，值得數學家進一步探究。
本文轉載自張景中的書籍 《數學與哲學》
