「中考複習」與四邊形有關的綜合題，尋找方法是關鍵教育頭條網

「中考複習」與四邊形有關的綜合題，尋找方法是關鍵

在中考試卷裡，有關四邊形的綜合題也是一大亮點，它往往滲透多個知識點，需靈活運用各種技巧，設參列式利用方程的思想，或構造模型方能解決問題。

【題目呈現】

1.如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF於點G，下列結論:①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正確的結論有_____.

【分析】∵易知AE=AF，AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF，∴CE=CF，①正確.

∵CE=CF，易知△ECF為等腰直角三角形，∴∠FEC=45°，又∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，②正確.

不難判斷AC垂直平分EF，AG=√3EG，EG=CG，∴AG≠2GC，③錯誤.

分析知，∠BAE=15°，∠EAG=30°，BE=sin∠BAE×AE=DF，EG=sin∠EAG×AE=GF，∴BE=DF≠EG=GF，∴BE+DF≠EG+GF=EF，④錯誤.也可以設參列式進行推算，(設參列式，列方程，運用方程的思想方法是解決數學問題的通法，只不過有時等量關係難找或是相關線段難以用參數表示，或是解方程計算量大而已，但作為一種通法，理論上行得通，對於我們學生而言，一般是可行的)，注意到AG=√3EG，EC=√2EG，可設EG=GF=CG=a，則EF=2a，AG=√3a，EC=√2a，同學們在表示BE的邊時遇到了困難，一般這時我要同學們再回歸題目，看有哪些條件還沒有用到，或者總觀全圖，找到題目中的關鍵特徵，平時就要練就這一習慣，既要看到局部，又到看到整體，不要盯著一個地方鑽牛角尖，也即統籌兼顧.對於本題而言，注意到BE=BC一EC，BC=√2AC/2，而AC=AG+CG，側BE可表示出來，∴AC=(√3+1)a，BC=(√3+1)a×√2/2=(√6+√2)a/2，∴BE=BC一EC=(√6一√2)a/2，BE+DF=(√6一√2)a，而EF=2a，∴④錯誤.

接上面的分析，S△ABE=AB×BE/2=a²/2，S△CEF=EF×CG/2=a²，∴S△CEF=2S△ABE，⑤正確.

∴正確的結論有:①②⑤.

2.如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對摺至△AFE，延長EF交邊BC於點G，連接AG、CF，下列結論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正確的結論有_______.

【分析】①正確，用"HL”易證△ABG≌△AFG.

分析條件知，DE=DC/3=2，∴EF=DE=2，CE=4，由①知BG=GF，CG=6一BG，∴可設BG=a=GF，則GE=2+a，CG=6一a，而∠GCE=90°，自然想到用勾股定理列方程，得(6一a)²+4²=(a+2)²，解得a=3，∴BG=GC=3，②正確.

由①知∠AGB=∠AGF，又GF=CG=3，∴∠GFC=∠GCF，而∠AGB+∠AGF+∠FGC=180°，∠GFC+∠GCF+∠FGC=180°，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，③正確.

對於結論④同學們可能要走彎路，注意到S△GCE=GC×EC/2=3×4/2=6，而GF=3，EF=2，∴S△FGC=3/5×S△GCE=18/5≠3，(這裡用到同高的兩個三角形面積的比等於底之比)，∴④錯誤.

所以正確的結論有①②③.

3.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(不與點A，B重合)，連接DE，點A關於直線DE的對稱點F，連接EF並延長交BC於點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線於點H，連接BH.

(1)求證:GF=GC;

(2)用等式表示線段BH與AE的數量關係，並證明.

【分析】第(1)問較易，緊抓點A關於DE的對稱點為F，用"HL”可判定Rt△DFG≌Rt△DCG，從而證出GF=GC.如圖:

(2)要求線段BH與AE的數量關係，看起來很難，這時我們就需要回歸題目，仔細分析條件，尋找契機，由於∠DEH=90°，分析知，∠ADE=∠FDE，∠FDG=∠CDG，∴∠EDG=45°，∴△DEH為等腰直角三角形，∴DE=HE，又分析可知，∠ADE=∠HEB，這時具備一邊，一角相等，若在AD上找一線段與EH相等，則可構造出一組全等三角形，基於這一思路，在AD上找一點M，使DM=EB，連接ME，如圖: