如果我說我能用正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。傅里葉認為“任何”
週期信號都可以表示為一系列成“諧波關係”的正弦信號的疊加。看看下圖：方波也稱為矩形波，但是這種“方方正正”的信號的確可以分解為無限多個正弦信號的組合。下圖展示了方波的傅里葉級數的前50項的疊加過程，如果項數繼續增加，則最終趨近方波。
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。一個矩形就這麼疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。
雖然組成方波的這些信號都是正弦信號，但是這些正弦信號之間還需要滿足一定的條件。考慮組成方波的正弦信號，方波可由以下公式表示，其中n為奇數：
這裡，ω稱為基波頻率，而3ω、5ω、nω等均為ω的整數倍。這些大於基波頻率，且是基波頻率整數倍的各次分量稱為諧波。對於方波，基波的各偶數次諧波的幅值為零。這些諧波成分也就是組成方波的原材料。（來源：簡書）
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構建頻域的最基本單元。
對於我們最常見的有理數軸，數字“1”就是有理數軸的基本單元。
有了“1”，還要有“0”才能構成世界，那麼頻域的“0”是什麼呢？cos（0t）就是一個週期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數的疊加中，它僅僅影響全部波形相對於數軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
傅里葉級數的本質是將一個週期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎並不是週期的。
是否有一種數學工具將連續非週期信號變換為週期離散信號呢？抱歉，真沒有。
比如傅里葉級數，在時域是一個週期且連續的函數，而在頻域是一個非週期離散的函數。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以乾脆回憶第一章的圖片。
而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非週期的連續信號，轉換為一個在頻域非週期的連續信號。
傅里葉變換實際上是對一個週期無限大的函數進行傅里葉變換。因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。
歐拉公式
當x等於 Pi 的時候。
虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什麼呢?
這裡有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以 3 的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了 180 度。
我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度，那麼乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了 90 度。
同時，我們獲得了一個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸共同構成了一個複數的平面，也稱複平面。這樣我們就瞭解到，乘虛數i的一個功能——旋轉。
複數的物理意義是什麼？http://www.zhihu.com/question/23234701/answer/26017000
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