求微分方程y''+y=(sin3x+cos3x)e^2x通解的方法

本文主要內容，介紹求微分方程y''+y=(sin3x+cos3x)e^2x通解的方法。

解：

微分方程的特徵方程為：

r2+1=0，

r1,2=±i，

即該方程的齊次微分方程的通解為：

y*=c1sinx+c2cosx;

又因為λ+iw=2+3i，不是特徵方程的根，則設特解為：

y1=(msin3x+ncos3x)e^2x;

兩次求導得：

y1'

=(3mcos3x-3nsin3x)e^2x+2(msin3x+ncos3x)e^2x;

=(3mcos3x-3nsin3x+2msin3x+2ncos3x)e^2x;

=[(2m-3n)sin3x+(3m+2n)cos3x]e^2x。

y1''

=[(6m-9n)cos3x-(9m+6n)sin3x]e^2x+2[(2m-3n)sin3x+

(3m+2n)cos3x]e^2x;

=[(-5m-12n)sin3x+(12m-5n)cos3x]e^2x;

此時y1''+y

=[(-4m-12n)sin3x+(12m-4n)cos3x]e^2x=(sin3x+cos3x)e^2x;

則：

-4m-12n=1且12m-4n=1，求得：m=1/20,n=-1/10。

y1=[(1/20)sin3x-(1/10)cos3x]e^2x;

微分方程的通解為：

y=y*+y1=c1sinx+c2cosx+[(1/20)sin3x-(1/10)cos3x]e^2x。

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