本文主要内容,介绍求微分方程y''+y=(sin3x+cos3x)e^2x通解的方法。
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解:
微分方程的特征方程为:
r2+1=0,
r1,2=±i,
即该方程的齐次微分方程的通解为:
y*=c1sinx+c2cosx;
又因为λ+iw=2+3i,不是特征方程的根,则设特解为:
y1=(msin3x+ncos3x)e^2x;
两次求导得:
y1'
=(3mcos3x-3nsin3x)e^2x+2(msin3x+ncos3x)e^2x;
=(3mcos3x-3nsin3x+2msin3x+2ncos3x)e^2x;
=[(2m-3n)sin3x+(3m+2n)cos3x]e^2x。
y1''
=[(6m-9n)cos3x-(9m+6n)sin3x]e^2x+2[(2m-3n)sin3x+
(3m+2n)cos3x]e^2x;
=[(-5m-12n)sin3x+(12m-5n)cos3x]e^2x;
此时y1''+y
=[(-4m-12n)sin3x+(12m-4n)cos3x]e^2x=(sin3x+cos3x)e^2x;
则:
-4m-12n=1且12m-4n=1,求得:m=1/20,n=-1/10。
y1=[(1/20)sin3x-(1/10)cos3x]e^2x;
微分方程的通解为:
y=y*+y1=c1sinx+c2cosx+[(1/20)sin3x-(1/10)cos3x]e^2x。
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