如何證明空間函數在何處間斷？

向死而生3000

空間函數屬於多變量微積分的部分。多變量微積分是對單變量微積分的推廣，主要是利用微積分的方法來研究多元函數。其研究脈絡基本與一元函數相同，主要包括了多元函數的極限，連續性，導數，積分等等。不過因為多元函數是在比平面更為複雜的空間中進行研究，所以每一部分內容相應的也要複雜很多。

多變量微積分中所研究的函數對象，根據其自變量與因變量的維度不同劃分為三個類型。

• 自變量是多維的，因變量是一維的，這種函數就稱為多元函數。其中比較特殊的情況是自變量是二維的，稱之為二元函數，通常情況下記作z=f(x,y)。那這樣一來它表示的就是空間中的一個曲面。

• 自變量是一維的，因變量是多維的，這種函數稱之為參數函數，有時也叫向量函數。如果因變量是二維的表示的，就是平面上的一條曲線；因變量是三維的表示的就是空間中的一條曲線。

• 自變量和因變量都是多維的，這種函數稱之為向量場。通常情況下，我們研究自變量與因變量都是二維的情況，即平面上的向量場；以及自變量與因變量都是三維的情況，即空間中的向量場。

不管是上面哪種情況，要想研究他們的連續性，就必須搞清楚連續性的定義是什麼。我們已經說過多變量微積分是沿襲的單變量微積分的思想，因此我們需要首先來看一下單變量微積分中是如何來研究連續性的。

1.單變量微積分

單變量微積分的研究對象就是普通的一元函數

它的圖形解釋就是函數在a點處有一個取值f(a)，當x無限向a靠近的時候，函數值也無限靠近f(a)，這樣的話曲線和點就可以連上，於是就稱為函數在這一點連續：

因此判斷函數在某一點是連續的還是間斷的，只需要把這一點的極限值求出來，再與函數值相比較即可，如果二者相同則是連續的，如果不同則是間斷的。因此函數連續性的問題本質還是在求極限的問題。在數學分析裡面，我們給出了一個函數在一點極限的精確定義：

這就是著名的關於極限的ε-δ定義。它的圖形解釋如下

ε-δ定義，是經過了柯西(Cauchy)，阿貝爾(Abel)，波爾查諾(Bolzano)等數學家的努力，最後由德國數學家魏爾斯特拉斯(Weierstrass)最終提出。它的提出徹底地消除了第二次數學危機，將整個微積分建立在嚴密化的基礎之上，在數學史的發展中具有里程碑的意義。

套用到連續性的定義上，我們就有：

討論完單變量微積分，按照相同的思想，我們就可以來研究多變量微積分了。

我們按照上面列舉的三種類型的函數順序來進行研究。

2.多元函數的連續性

我們就以二元函數z=f(x,y)為例子。我們已經說過，它的圖像表示的就是空間中的一個曲面：

各種各樣的空間曲面

多元函數在一點的連續性同樣是用該點處函數的極限值等於函數值來定義的。

在一點的函數值非常好算，只需要把該點處的x和y帶到函數表達式裡面即可。那麼最重要的問題來了，多元函數在一點的極限值又如何來定義和計算呢？

二元函數的自變量是平面上的一個點，一個點對應一個函數值，於是我就可以給先給出一個極限粗略的定義。設P是平面上的動點，P0是平面上的一個定點，當P無限地朝向P0運動時，f(P)的值無限向某個數L靠近，那我們就說這個二元函數在P0處的極限等於L。

當然這只是一個很粗略的定義，要想下一個嚴格的定義，我們則需要使用ε-δ語言。在一元函數里面，我們需要讓x和a離得特別近，用的方法就是|x-a|小於一個δ。同樣地，這裡我們只需要讓P和P0的距離小於δ即可。而平面上的兩點距離可以使用勾股定理計算，於是我們可以寫出如下定義，設P點的座標是(x,y)，P0點的座標是(x0,y0)，就有

我們也可以用圖形來解釋一下這個定義，當P點離P0的距離小於δ的時候，意味著P點落在以P0為圓心，δ為半徑的圓裡面，而此時，f(P)的值需要落在L上下相距ε的兩個平面之間，圖形如下：

當然，有的時候為了計算上的方便，我們把圓形改成正方形，於是就得到了下面等價的定義：

知道了函數的極限，我們就可以來定義函數的連續性了。同樣的，按照一元函數的思路，我們可以來定義：若函數在P0點的極限值等於函數值，則稱它在該點處是連續的，否則稱為間斷的。即函數在一點處連續需要滿足的式子是：

所以我們的核心還是歸結為到求多元函數在一點處的極限值。拿它跟P0處的函數值相比較，二者相等即為連續。而對於間斷的情況，分為兩種可能：一種可能是函數在這一點的極限值存在，但是這個極限值和函數值不相等；第二種情況是函數在這一點的極限根本就不存在，就更無所謂與函數值相等了。這兩種情況我們分別來舉例子。

• 極限值存在，但不等於函數值的例子

討論下列函數在(0,0)點的連續性

這是個分段函數，在(0,0)點以外的地方，分母是2次式，分子是3次式，因此考慮極座標代換的方法。回憶一下極座標轉直角座標的轉化公式：

於是可以得到：

我們來觀察一下這個式子，括號裡面是三角函數的式子，而三角函數一定位於-1~1之間，所以括號裡面的表達式一定位於-2~2之間，於是它就是一個有界量。而當P向P0靠近的時候，3r一定也是向0靠近的，所以它是個無窮小量。而我們知道，無窮小量乘以有界量，極限一定還等於0，於是

但是原來的函數在(0,0)這一點的取值為1，因此這一點的極限值不等於函數值，所以在這一點函數是間斷的。

這個函數的圖像畫出來是下面這個樣子，我們可以根據圖像來初步感受一下在(0,0)點的連續性：

注意這個圖像在(0,0)這一點的取值為1，就是上面紅色的點，所以在這一點處它是不連續的。

• 極限值不存在的例子

在學一元函數的時候，我們曾經學過求x向某一點趨近時的極限，我們要考慮左側和右側，也就是它有兩種趨近方向。但是對於二元函數情況則要複雜的多，因為在平面上，一個動點向一個定點靠近，它的趨近方向可就不止一種了，甚至都不必走直線：

只有當P沿所有路徑趨近P0時，函數的極限值都是相等的，那我們才說，函數在這一點的極限存在。但凡你能找到兩條路徑，使得沿著這兩條路徑趨近的極限不同，那麼就可以說明函數在這一點的極限不存在。

這就是證明多元函數在一點不存在極限的方法，按照這種方法，我們來看一下下面這個例子：

討論下列函數在(0,0)點的連續性：

我們選擇兩條不同的路徑：

1、我們選擇路徑y=x，當(x,y)不在(0,0)時，有：

因此此時極限值為1/2

2、我們選擇路徑y=2x，當(x,y)不在(0,0)時，有：

因此此時極限值為2/5。

我們選擇兩條不同的路徑，得到了兩個不同的極限值，因此函數在這一點的極限是不存在的，就更無所謂是否與函數值相等了，於是函數在(0,0)點就是間斷的。它的圖形是下面這個樣子：

好了，上面就是多元函數的連續性與間斷性的一般方法，我們來看下一類函數——

3.向量函數的連續性

我們首先需要搞清楚向量函數的概念，就拿三維向量函數舉例子。

三維向量函數的自變量是一維的，我們一般用t來表示，而它的因變量是三維的，是一個向量的三個分量，所以一個三維向量函數通常寫成以下這個樣子：

有的時候我們也寫成下面這個樣子：

這個樣子的式子跟上面那個式子從本質上講是一樣的，但是排列成這種形式，我們就一般把它看成是以t為參量的參數函數。

三維向量函數或三維參數函數，它的圖像就是空間中的一條曲線，隨著t的變化而滑出一道軌跡來。

生活中的許多現象用普通的函數非常難研究，於是這時就需要使用參數函數。比如最典型的例子有螺旋線，擺線等等。我們研究平面上或空間中的物體運動問題，有時候也要使用參數方程。下圖展示的就是各種各樣的空間曲線：

那麼我們如何來研究一個向量函數，在某一點的連續性呢？同樣我們需要使用極限的概念。這裡就是向量函數的極限。

還是先從直觀上來看，向量函數在t=a處的極限，

下面來研究如何把它寫成嚴格的ε-δ定義的形式，遇到的一個比較困難的問題，就是如何形容兩個向量捱得無限近。我們用的方法是兩個向量做差得到的差向量的模長無限短，於是就得到如下定義：

上面這個定義雖然是官方的定義，但是實用性卻不太強，因為求向量模長是一個比較複雜的問題。幸運的是，我們有一個定理，求向量函數的極限就相當於求向量函數各個分量的極限，而每一個分量都是個一元函數，它的極限是比較好求的，定理如下：

因此，向量函數的本質實際上就是多個一元函數，研究方法跟一元函數是完全平行的。我們定義向量函數在某一點的連續性，自然也是同樣的思想。即，如果滿足

那麼就說向量函數在t=a這一點是連續的，利用定理就可以得到，它充分必要條件就是：

因為是充分必要條件，所以上邊的三個式子裡邊兒但凡有一個不成立，那麼向量函數的極限也就不可能等於向量函數值，於是在這一點就是斷開的。根據這一點，我們就可以很輕易地找到在某一點是斷開的向量函數。比如下面這個例子：

很明顯我們知道

但是

因此這個函數在t=0這一點是間斷的。可以看出來，向量函數的連續性就可以劃歸為多個一元函數的連續性，因此它沒有增加實質上的新東西，我們對向量函數的介紹也就到此為止。

4.向量場的連續性

向量場是比前兩者都要更復雜的函數，它的自變量和因變量都是多維的，意思就是說它的自變量和因變量都是向量。比較常見的是自變量與因變量都是二維向量的平面向量場，以及自變量與因變量都是三維向量的空間向量場。他們的本質就是在平面上或空間中的每一個點都指定一個向量。物理中常見的力場，電場，磁場等等，都是某種特殊的向量場。包括數學中的梯度場，也是一種特殊的向量場。下圖中所展示的是幾個常見的空間向量場：

向量場本質上也是一個函數，而它的函數表達式從結構上來看就更加複雜了，我們來研究從m維向量空間到n維向量空間的向量場。首先寫成一個簡單的樣子如下：

其中的x表示的是一個m維向量，y表示的是一個n維向量，所以把它們寫開之後，實際上是這個樣子：

而y的每一個分量又可以表示成x中每一個分量的函數，所以實際上一個向量場是由n個m元函數組成的，即：

定義向量場的極限依然使用的是老方法，即自變量向某個向量無限靠近的時候，因變量也向某個向量無限靠近，這樣就定義了向量場在某個向量處的極限。稍微麻煩一點的是現在自變量與因變量都是向量，向量與向量無限靠近靠近，我們前文已經說過，用的是兩個向量的差向量的模長無限小來描述。於是我們就得到了以下形式的定義：

其中向量的模長就是用勾股定理來定義的：

前面介紹向量函數的極限時，我們有一個充分必要條件，即可以把向量函數的極限轉化為多個一元函數的極限。同樣道理，我們這裡也有類似定理，可以把向量場的極限轉化為分量函數的極限，只不過現在的每一個分量函數都是一個多元函數，因此它的極限又需要使用多元函數的極限的定義，這裡就不再贅述了。有了極限的概念，我們自然可以利用極限來定義向量場的連續性，跟前面的思想幾乎完全是一樣的。若向量場在某個向量處的函數值等於極限值，則稱向量場在該向量處是連續的。這裡也不再贅述了。

向量場的連續性在拓撲學中有著非常重要的研究價值，比如有一個非常著名的定理，它的名字很奇怪，叫做“毛球定理”，這個定理本身敘述起來比較簡單，為了形象的理解，我這裡只說一個簡化的版本：

毛球定理(二維情形)：二維球面上不存在連續的向量場

毛球定理在生活中其實有很多應用。他告訴我們，你永遠無法把一個長滿毛的球上面的毛全都撫平。它還解釋了其它現象，比如，為什麼人的腦袋上總會至少有一個“旋兒”？為什麼颱風總會有一個颱風眼？及還有一個比較神奇的結論，在任何一個時刻你都可以找到地球上的某個點，在這一點處空氣是完全靜止的，即完全無風。因此這個定理在氣象學上也有很重要的應用。

參考文獻

[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC

[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE

[3] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE

[4] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON

[5] 《數學分析》華東師範大學數學系，第四版，北京，高等教育出版社

數學救火隊長

說了半天不著正題，這就是我們的學術？函數沒有定義，多簡單啊，你就是不說。難道你也不清楚它與下定義所區別？

關鍵字: 微積分 函數 多元