數學當中有一些函數，看起來很不直觀，思考起來也很麻煩。有一些函數簡直就是直接顛覆自己的認知。是我病了還是它病了？我只能說它病了。哈哈哈，所以叫它“病態函數”吧。
不過，這些病態的函數確實有一些良好的性質，還可以作為反例（一些病態函數就是為了作為反例人為構造出來的）。儘管它們很“病態”，思考它們一通可能腦袋都不正常了，但是它們確實很迷人，我把它們比做林黛玉的花。
狄利克雷函數
乍一看狄利克雷函數，好簡單，這也忒簡單了吧。然後我就陷入了沉思，嗯。。。。。
於是我先複習了些有理數無理數的知識。知道有理數可數可列，無理數不可數，有理數、無理數的稠密性。
下面我們看看這個函數的一系列“變態特徵”。
1、函數為偶函數。
2、無法畫出函數圖像,但是它的函數圖像客觀存在。
3、以任意正有理數為其週期，無最小正週期。
4、處處極限不存在，處處不連續，處處不可導。
5、在任何區間內黎曼不可積。
如果在網上搜索狄利克雷函數圖像，你會看到一系列的點。不過事實上，不論多麼精密的計算機都不能畫出它的圖像。有些人從小到大第一次見到這種畫不出來函數圖像的函數，哈哈。雖然你畫不出來，但它就在那裡，不增不減。。。
至於它的週期嘛，很好理解。不過需要知道有理數加有理數還是有理數，有理數加無理數是無理數。但是它沒有最小正週期，因為有理數的稠密性。
根據柯西收斂準則我們可以證明它的極限不存在。極限不存在了，當然也處處不連續了。我們還知道可導必連續，它不連續了那肯定不可導。
至於積分，我們以0到1這個區間為例，每個小區間取有理點和每個小區間取無理點的黎曼和的極限分別是1和0，故不可積。
黎曼函數
黎曼函數，一看這名，它是由德國數學家黎曼發現提出的。
這個函數就稍稍複雜一些了，它的圖像同樣是那麼的難畫。下面這個散點圖來自華東師範大學版本的數學分析，目的更直觀一些。
我們再看一看它的特徵。
1，黎曼函數在(0,1)內的無理點處處連續，有理點處處不連續。
2，黎曼函數在區間(0,1)內的極限處處為0。
3，黎曼函數在區間(0,1)包含的任意小區間中，都有無窮個不為零的點。
4，黎曼函數在區間[0,1]上是黎曼可積的。
各種教材都有關於它的性質的一系列證明，此處省略。我們記住它的性質就好了。
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