陳景潤究竟為證明哥德巴赫猜想做出了哪些貢獻？

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編者注：閱讀本文時，可以跳過公式，不會影響理解。

自1742年提出至今，哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）已經困擾數學界長達三個世紀之久。作為數論領域存在時間最久的未解難題之一，哥德巴赫猜想儼然成為一面旗幟，激勵著無數數學家向著真理的彼岸前行。

對不少人來說，知道哥德巴赫猜想，離不開兩個人，陳景潤和徐遲。後者那篇著名的報告文學，讓很多人知道了有位中國數學家，用了幾大麻袋演算紙，將哥德巴赫猜想的證明往前推進了一步。

但陳景潤究竟在這個領域取得了多大的進展呢？讓我們從哥德巴赫猜想本身說起。

源起：素數引發的懸案

一個大於1的自然數，如果除了1與其自身外，無法被其他自然數整除，那麼稱這個自然數為

今天故事的發端，就是這類被稱為"素數"的數字。早在古埃及時代，人們似乎就已經意識到了素數的存在[1]。而古希臘的數學家們很早就已經開始對素數進行系統化的研究。例如歐幾里得在《幾何原本》中就已經證明了無限多個素數的存在[2]以及算術基本定理（即正整數的唯一分解定理，指出任何大於1的自然都可以唯一地寫成若干個質數的乘積）[3]。而埃拉託斯特尼提出的篩法則為找出一定範圍內所有的素數提供了可行的思路[4]。

古希臘數學家、"幾何學之父"歐幾里得（左）與數學家、地理學家、天文學家埃拉託斯特尼（右）。前者在其著作《幾何原本》中提出五大公設，成為歐洲數學的基礎。後者設計出了經緯度系統，並計算出地球的直徑。

埃拉託斯特尼篩法。篩法的原理十分簡單，計算者從2開始，將每個素數的倍數篩出，記作合數。埃拉託斯特尼篩法是列出所有小素數最有效的方法之一。

隨著對素數理解的深入，素數的諸多奇特性質被人們發掘出來。1742年6月7日，普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的信中，提到了自己有關素數的一個發現：任一大於2的整數都可以寫成三個質數之和。值得一提的是，當時歐洲數學界約定1也是素數。所以換成現代的數學語言，即"任一大於5的整數都可寫成三個質數之和"。

將偶數表示為兩個素數的和。截至2012年4月，數學家已經驗證了4乘以10的18次方以內的偶數，沒有發現哥德巴赫猜想的反例[5]。

哥德巴赫無法確認這一發現的普適性，所以他寄希望於歐拉可以給出證明。歐拉在6月30日的回信中肯定了哥德巴赫的發現，並給 出了猜想的等價版本:

任一大於2的偶數，都可表示成兩個素數之和。

這也是現在哥德巴赫猜想的通常表述方式，其亦稱為"強哥德巴赫猜想"或"關於偶數的哥德巴赫猜想"。歐拉認為可以將這一猜想視為定理，只可惜他也無法給出猜想的證明。

哥德巴赫信件的手稿 圖片來源：www.mscs.dal.ca

由"強哥德巴赫猜想"，可以推出：

任一大於5的奇數都可寫成三個素數之和。

這也稱為"弱哥德巴赫猜想"或"關於奇數的哥德巴赫猜想"。當然如果"強哥德巴赫猜想"可以被證明，"弱哥德巴赫猜想"也就迎刃而解。

沉寂：難以逾越的高山

哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數學難題相比。

——戈弗雷·哈羅德·哈代

哥德巴赫猜想一直以來都深受業餘數學愛好者的青睞，一個很重要的原因就是其表述十分簡潔易懂。然而猜想的證明實際上是極為困難的。自1742年猜想被正式提出後的160餘年裡，數學家苦苦探尋，都沒有取得任何實質性的進展，更多的只是提出一些等價的命題，或者是對猜想進行數值驗證。

1900年，著名數學家希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的著名的二十三個問題，其中第八個問題就涉及三個有關素數的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數猜想。至今上述三個猜想的研究雖然較20世紀初已經有了長足的進展，甚至有弱化的情況已經被證明，但三個問題本身均仍未被解決。

圖片來源：The Oberwolfach Photo Collection

參加學術會議的希爾伯特。1900年，希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了23個最重要的數學問題。希爾伯特問題在相當一段時間內引導了世界數學研究的方向，有力地推動了20世紀數學的發展。在許多數學家努力下，希爾伯特問題中的大多數在20世紀中得到了解決。

然而這長達160餘年的探索並非毫無成果。由於歐拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達馬等數學家在數論與函數論領域的突破性研究，為之後以哥德巴赫為代表的數論研究打下了堅實的基礎。

突破：劃破夜空的曙光

數學是科學中的皇后，而數論是數學中的皇后。

——卡爾·弗雷德里希·高斯

問題真正的實質性進展出現在二十世紀20年代。當時出現了兩種代表性的思路，一種是英國數學家哈代與李特爾伍德

圖片來源：wikipedia、U of St And

哈代（左）、李特爾伍德（中）與布朗（右）。哈代，英國數學家，二十世紀英國分析學派的代表人物，其研究對後世分析學和數論的發展有深刻的影響。李利特爾伍德，英國數學家，研究領域涵蓋數論和數學分析，與哈代有著長達35年的合作。布朗，挪威數學家，其在數論領域的工作極大地推動了哥德巴赫猜想和孿生素數猜想等的研究。

藉助上述方法，哈代和李特爾伍德在1923年的論文中證明了"在假設廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數都能表示為三個素數的和以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個素數的和"[6]。這裡的"廣義黎曼猜想"，指的是用狄利克雷L函數代替黎曼猜想中的黎曼ζ函數，其他表述不變。哈代和李特爾伍德的工作使哥德巴赫猜想的證明向前邁進了一大步。

利用上述方法，布朗在1919年證明，"每個充分大的偶數都可以寫成兩個數之和，並且這兩個數每個都是不超過9個素因數的乘積"[7]，所以上述結論也被記作"9+9"。按照布朗的思路，如果最終可以將素因數的個數縮減至1個，即最終證明"1+1"，那麼也就意味著證明了哥德巴赫猜想。

衝刺：鼓舞人心的號角

陳景潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走。

——安德烈·韋伊

上文提到的兩種思路都在二十世紀都得到了極大的發展。這也極大地推動了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的證明工作。1937年蘇聯數學家維諾格拉多夫（Ivan Vinogradov）在對於弱哥德巴赫猜想研究中取得了重大的突破[10]。他在圓法的基礎上，去掉了哈代和李特爾伍德證明中對於廣義黎曼猜想的依賴，完全證明了"充分大的奇素數都能寫成三個素數的和"，即"哥德巴赫-維諾格拉多夫定理"。不過維諾格拉多夫無法給出"充分大"的下限，所以找到這一下限便成為了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向。2013年秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特（Harald Andrés Helfgott）成功將維諾格拉多夫"充分大"的下限縮小至10的29次方左右，通過計算機驗證在此之下的所有奇數，結果無一例外都符合猜想，從而最終完成了弱哥德巴赫猜想的證明[11]。

維諾格拉多夫（左）與哈洛德·賀歐夫各特（右）。伊萬·馬特維耶維奇·維諾格拉多夫，蘇聯解析數論專家，斯捷克洛夫數學研究所所長。哈洛德·賀歐夫各特，秘魯數學家，法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院研究員。

相比較而言，強哥德巴赫猜想的研究困難相對更大。不過二十世紀上半葉以來，數學家遵照布朗篩法的研究思路，也取得了長足的進展。在布朗證明"9+9"後不久，1924年德裔美籍數學家拉德馬赫（Hans Adolph Rademacher）成功證明了"7+7"[12]，1932年德國數學家埃斯特曼（Theodor Estermann）證明了"6+6"[13]，蘇聯數學家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）於1938年和1940年證明了分別證明了"5+5"與"4+4"[10]。

拉德馬赫 圖片來源：Math Gene Proj

埃斯特曼 圖片來源：Oxford Univ. Press

布朗篩法較以往的數論方法而言有很強的組合數學特徵，應用起來比較複雜。所以在研究的過程中，數學家不斷對原有的篩法進行改進。考慮到以往的證明中，總是將命題"a+b"與對一個篩函數的估計直接聯繫起來，得到的結果相對較弱。1941年，庫恩（P. Kuhn）提出了"加權篩法"，藉此我們可以在同樣的篩函數上、下界估計的基礎上得到強結果。例如庫恩於1954年就給出了"a+b<7"[8]，即每個偶數都可以寫成兩個數之和，使得它們各自的素因數個數加起來的總和小於7。而1950年前後挪威數學家阿特勒·塞爾伯格（Atle Selberg）提出的"

塞爾伯格 圖片來源：wikipedia

布赫希塔布 圖片來源：liveinternet.ru

阿特勒·塞爾伯格，挪威數學家。研究方向涵蓋解析數論，以及自守形式理論。獲得1950年的菲爾茲獎和1986年的沃爾夫數學獎。亞歷山大·布赫希塔布，蘇聯數論專家，以其對篩法的研究而聞名。

以上的結果中，比較遺憾的是無法證明偶數分拆成的兩個數中一定有一個是素數。主要原因就在於要證明形如"1+x"的命題時，需要估計篩函數S(A,P,z)的上界和下界時，需要估計主項與餘項，並證明餘項相對於主項可以忽略。這有點類似圓法的思路。不過"1+x"的估計涉及到算術級數中素數分佈的均值定理，需要利用較為複雜的解析數論手段。

最早取得突破的是匈牙利數學家阿爾弗雷德·倫伊（Alfréd Rényi）[16]。他率先定性地證明了命題"1+x"，但卻沒能給出x的具體值。而在這一領域裡，我國老一輩數學家取得了卓越的成績。1962年潘承洞利用倫伊的思路成功證明了"1+5"，同年王元指出潘承洞的結論實則可以推出"1+4"。

中國解析數論學派：華羅庚，王元，潘承洞與潘承彪 圖片來源：U of St And、財新網

"中國解析數論學派"指以華羅庚為代表的數論學派，該學派對於質數分佈與哥德巴赫猜想作出了許多重大貢獻。華羅庚，中國科學院院士，美國國家科學院外籍院士。他是我國解析數論、典型群、矩陣幾何、自守函數論與多元複變函數等領域研究的創始人與奠基者，也是中國在世界上最具影響力的數學家之一。王元，中國科學院院士。他首先將解析數論中的篩法用於哥德巴赫猜想的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫猜想的研究聞名。他首先確定命題"1+x"中x的具體數值，並證明命題"1+5"和"1+4"成立。潘承彪，中科院院士，著名數論學家，潘承洞胞弟，亦是數論學家張益唐在北京大學時的研究生導師。

而使用篩法的最好結果是由我國數學家陳景潤得到的。1966年，陳景潤在《科學通報》上發表了有關"1+2

1973年，陳景潤給出了"1+2"的詳細證明，同時改進了1966年研究的數值結果。是年4月，中國科學院主辦的《中國科學》上，公開發表了陳景潤的論文《

上面僅僅是對於陳景潤"1+2"證明思路的簡單梳理，事實上其證明過程十分繁瑣，而且需要很高的技巧性。能夠最終得出"1+2"的證明，陳景潤無愧於數論大師之名。

陳景潤，福建福州人，大學畢業於廈門大學數學系。1953年到1954年被分配至北京市第四中學任教，後被"停職回鄉養病"。1954年，調回廈大任資料員，同時開展數論研究，次年擔任助教。1957年9月，華羅庚安排把陳景潤調入中國科學院數學研究所。1966年，證明了"1+2"（陳氏定理）。

陳景潤後來不斷改進自己的結果，從某種意義上來說已經將篩法的威力發揮到了極致。但很可惜的是，陳景潤的加權篩法要證明最終哥德巴赫猜想（"1+1"）需要在加權篩中取x=2，而這將導致估計主項和餘項變得難以實現。所以如今數學界的主流意見認為，最終證明哥德巴赫猜想，還需要新的思路或者新的數學工具，或者在現有的方法上進行顛覆性的改進。但無論如何，陳景潤已經走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。

王元（左）、陳景潤（中）與潘承洞（右） 圖片來源：財新網

哥德巴赫猜想為國人所熟知，很大程度上要歸功於當代作家徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》[19]。在當時特殊的歷史時期，這篇報告文學使整個社會為之一震，同時也推動了我國"報告文學"這一文學題材的繁榮。可惜的是也正是因為這篇報告文學，使得不少沒有受過正規數學訓練的數學愛好者投入到哥德巴赫猜想的"研究"之中。據說中科院在相當長的一段時間裡，每年都會收到"幾麻袋"的討論或聲稱證明了哥德巴赫猜想的來信來稿。而筆者寫作本文的原因之一，也是希望粗略回顧和介紹哥德巴赫猜想與陳景潤的"陳氏定理"。同時希望讀者可以多多少少了解"1+2"、"1+1"之類的命題的真正內涵，而不至於望文生義，把哥德巴赫猜想視為一道普普通通的課後習題。

展望：未完待續的旅行

數學家與畫家和詩人一樣，是模式的創造者。——戈弗雷·哈羅德·哈代

近年來，數論這一學科的研究中心似乎也在慢慢轉移，哥德巴赫猜想的研究熱度相對上個世紀中葉也有所下降。不過數學家對於以哥德巴赫猜想為代表的素數相關問題的研究從來沒有停止。比較著名的有前面提到的黎曼猜想以及孿生素數猜想。

回望哥德巴赫猜想的發展歷程，其發端似乎是數學家心血來潮的胡思亂想。事實上許多歷史上大名鼎鼎的猜想皆是如此。

如今不少人談數學而色變，不僅對於普通人，對於很多科技工作者來說也是這樣，希望千方百計地繞開數學這匹"猛獸"。為此不少數學家絞盡腦汁，要找出數學和日常生活的種種聯繫。

其實，一方面數學本就與世界的發展密不可分，另一方面快節奏的時代追求"經世致用"本也無可非議。只不過筆者此處更希望從數學本身來看待其存在的意義。如哈代所言，"數學家與畫家和詩人一樣，是模式的創造者"，數學本身是有其美感存在的。數學界追求真理的旅行，就是發現和創造美的旅行。中科院物理所的曹則賢老師曾在他的書裡提到，"讀數學、物理書和看小說一樣，並非完全能看懂的就是好的"[2]。但願本文的讀者也不會被文中偶爾蹦出來的公式嚇到，而是可以透過這些繁雜的演算獲得屬於自己的思考。

"人是一株會思考的蘆葦。"沒有了思考，人類終將失去存在的意義。

參考文獻：

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[7] Viggo Brun (1919). "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie". Bulletin des Sciences Mathématiques. 43: 100–104, 124–128.

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[15] Selberg, A. (1984). On an elementary method in the theory of primes. In Goldbach Conjecture (pp. 151-154).

[16] "On the representation of even numbers as sums of a prime and an almost prime number,"Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., Vol. 12 (1948), pp. 57-78. (In Russian.)

[17] 陳景潤. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. 科學通報（英文版）. 1966, (9): 385–386.

[18] 陳景潤. 大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和. 中國科學A輯. 1973, (2): 111–128.

[19] 徐遲. 哥德巴赫猜想. 人民文學. 1978, (1): 53–68.

[20] https://asone.ai/polymath/ index.php?title=Bounded _gaps _between_primes.

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