引言
本文既是對2019-12-02發的《圓的面積公式，是從數學上的嚴格證明，還是一種數學直覺？》這篇文章斷言六的補充說明，也可以當成阿基米德對“比較兩條曲線長度”的解讀。
(本文討論的背景是兩千多年前的阿基米德關於原的面積和周長的理論，不涉及近代數學新出現的知識和理論。）
在微積分發明之前，曲線段的長度是不易準確測量的。理論上，在二維平面有限封閉區域內，可以存在無窮長度的連續曲線。
雪花面積雖小，周長卻很大
如何比較兩段曲線的長度，似乎是個難題，“幾何之父”歐幾里得也儘量避開討論曲線長度，在當時圓的周長只是個近似值。“在什麼條件下，我們可以判斷一條曲線比另一條更長或更短？”阿基米德雖然在《圓的測定》中沒有給出解釋，但是在《論球與原著Ⅰ》的介紹中，他得出兩個引理。本文著重介紹這兩個引理，也剛好補充解釋前文中斷言六。
一、兩個引理，兩條可能的路徑（曲線）最簡單的比較
引理1：兩點間的直線段短於任何其它連接此兩點路路徑。
兩點間的直線段短於任何其它連接此兩點的路徑
解釋：
阿基米德只是提出引理，並未對引理做出過多的提示或解釋。或許他認為比較簡單，沒有必要做出說明，甚至在《圓的測定》中提都沒提。
解釋基於：三角形任意一邊小於另外兩邊之和。
如圖，易知：
由歸納法（歐幾里得已經在非正式基礎上熟悉歸納法）可知引理1。
引理2：給定兩點A和B。假設有兩條從A到B的凹路徑都處於線段AB的同一邊，若其中一條路徑處於另一條路徑和線段AB之間，則它的長度更短。
同為凹路徑，離線段越近，則越短
解釋：
①情形1，內部路徑由兩條線段組成。
我們需要證明內部路徑AQ1B長小於外部路徑AP1P2B長。
證明：
又由引理1知
故:
證畢。
②情形2，內部路徑由兩條以上線段組成。
上述為內部路徑是兩條線段的情形。更廣泛的，如下圖示，對內部路徑的線段數使用數學歸納法即可。
③其他情況。
前面僅討論內部路徑是凹的情況先得出的結論，對於內部路徑是凸的情況也同樣適用。如：
當內部路徑凹凸性不一致的時候，上述結論不成立。如：
當內部路徑有凹又有凸的時候，內部路徑長度有可能大於外部路徑長度，也有可能小於外部路徑長度 。
有了這兩個引理，我們重新對前文提到的斷言做出進一步的解釋。
二、任意圓內接正多邊形的面積小於定義三角形的面積
注：定義三角形為兩條直角邊長分別為該圓半徑和周長的三角形。
前文回顧。
上篇文章，我們討論了阿基米德對於圓的面積公式的證明，即：
任意圓的面積，與兩條直角邊長分別為該圓半徑和周長的直角三角形的面積相等。
圖1，圓的面積等於定義三角形的面積
在證明過程中，用到了一個斷言“定義三角形的面積小於圓外切正N邊形的面積。”當時未對這個斷言做出詳細解釋，有網友留言詢問，所以在這裡做出解釋。
如圖，對於任意圓外切正多邊形，做圓心與多邊形相鄰兩切點的連線OA、OB，連接AB。
根據引理2：
弧AB和折線APB都處於線段AB的同一側，弧AB的凹凸性一致，且處於折線APB與線段AB之間，則弧AB長度比折線APB的長度更短。
即： 弧AB長 參考圖1，可知扇形OAB轉換為直角三角形OAB，直角邊AB長與弧AB長相等。四邊形OAPB可拼接成等腰三角形OPP'，其中PP'=2AP。 所以三角形OAB的面積小於三角形OPP'的面積。 推廣到整個圖形有定義三角形的面積小於圓外切正N邊形的面積。 引理2裡僅對兩條線段組成的路徑進行了證明，兩條以上的線段證明需要用到歸納法。但是當路徑為光滑曲線時，需將曲線看成無窮多個線段組成，顯然這就是我們今天極限的思想，也是微積分的基礎。 本文參考Bill Casselman(加拿大溫哥華英屬哥倫比亞大學)文章《阿基米德與圓周長圓面積》。
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