2 數學的特點
下面我想跟大家談談數學的幾個特點。這也是從廣大網友之前的留言中總結出來的。實際上數學特點非常多，我就挑以下五個關鍵詞給大家講講：美麗、真理、有趣、真難和智慧。
2.1 數學之美
第一個講的關鍵詞是數學的美。首先我們來看一下。幾乎所有的數學家都認為數學是美的。我舉個例子，著名數學家巴拿赫說"數學是最美的，也是最有力的人類創造。"可見他對數學評價之高。
巴拿赫(Stefan Banach,1892-1945)
大家再看看數學的一些圖形的美麗。第一排中間兩個是達芬奇的畫。下面是一些幾何圖形，有分形，也有幾何的圖案。
對稱之美
數學的美有很多種，其中之一就是對稱之美。前段時間，北大的張繼平院士《開講啦》講了對稱之美。對稱顯然是美的形式之一，在數學中對稱隨處可見。大家可以看到在下面的中間，是小學生都能看懂對稱圖形。最前面這個是對稱多項式。
亞里士多德說數學為什麼美的時候，談了數學的幾個要素。一個就是對稱，當然他也談到了序和限制。
亞里士多德（Aristotle，384BC-322BC）
比例之美
數學的另外一個美是比例。數學中有很多漂亮的比例。我這裡只跟大家講一個：黃金分割。黃金分割比例是(√5−1)/2。它實際上在古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》中稱作"中末比"。即一個線段分成長的和短的兩部分，短的比長的等於長的比整個線段。
著名的畫家達芬奇在畫畫的時候，大量用到這個比例。大家可以看到《蒙娜麗莎》中，眼睛到下巴的高度比上整個頭的高度正好是黃金分割比例。如果把眼睛到下巴當作整個距離，嘴巴也剛好在黃金分割點。
實際上達芬奇肯定不是第一個用這個比例的，雅典的一個神廟建築也大量使用了黃金比例。屋簷的高度跟整個廟高度的比是黃金分割比。這個建築物的寬比長也是這個比例。
除了達芬奇和這個古希臘的這個建築，很多人都推崇黃金分割比例。著名的天文學家開普勒(Johannes Kepler, 1571–1630)曾認為幾何中有兩大美女，一個就是黃金分割，另外一個是大家都知道的勾股定理。
開普勒(Johannes Kepler, 1571–1630)
簡潔之美
數學的另外一個美是體現在它非常簡潔。這裡我給大家列下面四個數學公式，他們看上去都非常簡潔，卻都刻畫了非常深刻的數學原理。
比方說第一個歐拉公式，非常簡潔，非常漂亮，也非常神奇。它用到了數學最著名最重要的一些常數或記號。是歐拉常數，也是自然對數的底。是虛數。π是我們剛才談到的圓周率。1 是最基本的數。這四個東西和加號，等於號和 0 一起構成一個完美的公式。
<code>ⅇ^i*pi + 1 = 0/<code>
牛頓定律是力學中最基本的定律。
<code> F=ma /<code>
歐拉點線面公式，也很簡潔，也很神奇。一個多面體的頂點個數減去線條個數，再加上面的個數永遠等於 2。
<code>V − E + F= 2
/<code>
麥克斯韋方程，大家可以看到這麼簡單的一個方程，居然把電磁學的原理都刻畫出來了。
神奇之美
另外一個數學的美，也就是非常神奇。首先是勾股定理。如下圖所示，正整數的勾股對有無窮多對。
但是費馬大定理告訴我們，當大於 2 時，沒有正整數解。費馬是一個非常神奇的人。他並不是職業數學家，他本職是個律師。他 30 歲就當議員，47歲就是地方議會的終生議員。他也一直是業餘研究數學，卻提出了偉大的費馬大定理。
費馬（Pierre de Fermat，1601-1665）
另外一個神奇的數學猜想是哥德巴赫猜想。由於陳景潤的工作，哥德巴赫猜想在我國我們這代人幾乎家喻戶曉。
<code>哥德巴赫猜想:任何大於 4 的偶數可寫成兩個素數之和。/<code>
哥德巴赫也是個業餘數學家。他出生普魯士柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒），歐拉七橋問題就發生在這個城市。所以哥德巴赫是出生在一個有數學文化的城市。他 35 歲就是聖彼得堡皇家科學院的數學和歷史教授。三年後去莫斯科當沙皇的私人教師。相當於過去在我們紫禁城裡當皇帝的老師。他四年以後就一直在俄國外交部任職。所以他也一直是業餘研究數學。
哥德巴赫（Goldbach，1690-1764）
哥德巴赫猜想是他在外交部任職時給歐拉寫信時提出的。當然很遺憾，這些數學結果到目前為止都還沒被證明。陳景潤證明了"1+2"，也就是一個大的偶數，都可以寫成一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和。
乾淨之美
數學的另外一個美麗就是它的乾淨。數學證明必須堅實、乾乾淨淨，沒有任何瑕疵。英國哲學家、醫生、自由主義之父約翰.洛克有著非常著名的著作，包括《人類理解論》和《政府論》。他的理論應該說激勵了美國革命和法國大革命。對美國憲法和《獨立宣言》都有著極大的影響。
約翰.洛克（John Locke，1632-1704）
就是這麼一位著名的哲學家和思想家，把數學的證明說成是像鑽石一樣的美，所謂的美麗就是又堅固、又漂亮，又幹乾淨淨。
<code>John Locke :Mathematical proofs, like diamonds, are hard and clear, and will be touched with
nothing but strict reasoning./<code>
極美、高冷
數學還有一個美的特點是它像一個高高在上的，對別人都很冷淡的素顏的美人。這話的原話可以追溯到羅素。
羅素（Bertrand Russell，1972-1970）
羅素是英國的哲學家，也是數學家，而且他是一個獲得過諾貝爾文學獎的數學家。他說數學冷得像個雕塑。在他的眼裡其他的藝術，包括舞蹈，音樂等都比不上數學。只有雕塑才能跟數學這種極美相比。
<code>Bertrand Russell:Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty -
a beauty cold and austere, like that of sculpture, ... ... such as only the greatest art can show./<code>
2.2 數學之真
第二個關鍵詞我想跟大家談談數學的真。
公理化
數學為什麼真呢？數學做什麼事情一定都要講道理，從什麼東西推導什麼東西。但是往回推導的話總要有一個基礎。所以數學家他幹什麼事情都要有公理化。
大家知道平面幾何，有歐幾里得的五條公理。歐幾里德是一個古希臘數學家。這裡還有個有趣的故事。歐幾里得在給托勒密一世講幾何的時候，國王問他學幾何有沒有捷徑。歐幾里得有一個非常漂亮的回答。他說通往幾何的途中，沒有為國王專門鋪設的平坦道路。
歐幾里德(Euclid，約 330BC–275BC)
集合論裡有 ZF 公理體系。所以數學家要建立數學理論，一定要基於公理。這麼來說數學實際上也是一種信仰。數學家大多都是有理想，有信仰的。就像我一樣，是一個共產黨員。
我再給大家舉幾個是共產黨員的數學家的例子。一個是李天巖教授。李天巖教授祖籍湖南，出生在福建。兩三歲就跟著國民黨撤退去臺灣。他在臺灣長大，臺灣清華大學畢業。後來在美國終身執教。他曾經說過這樣的話："如果年輕人不相信共產黨，說明你這個人根本是沒心的"。
李天巖（1950-）
<code>李天巖:When you are young, if you do not believe in communism, you do not have a heart!/<code>
另外一個教授是美國著名數學家斯梅爾。他也是個非常厲害的數學家，他獲得過菲爾茲獎。他年輕的時候也是美國共產黨員。
斯梅爾(Steven Smale,1930-)
下圖中與我合影的是 Maculan 教授是巴西的共產黨員。他曾經當過里約熱內盧大學的校長，也是巴西高等教育部的部長。
Maculan（1943-）
數學家因為相信這些公理體系，往往是有信仰的。所以數學家中有信仰的人還是非常多的。
邏輯嚴謹
下面再講另外一個數學的真，就是邏輯嚴謹。我引用愛因斯坦的一段話："純數學完全是一本邏輯的詩歌"。可見，沒有邏輯那就根本不叫數學。
<code>Albert Einstein:Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas./<code>
大家看到我在給一些名人照片時，都會標註他們的出生年份和去世年份。大家注意到沒有，數學家都是長壽的。愛因斯坦我不僅是給了他出生的年份，還給出了日期。大家發現沒有今天（3 月 14 日）是愛因斯坦的生日。
愛因斯坦（Albert Einstein，1879.3.14-1955）
證明嚴格
數學的另外一個真是數學證明嚴格。數學的證明一定是絕對的嚴格，容不得任何含糊。他不像有些學科，稀裡糊塗就過去了。我這裡引用安德烈·韋依的話："嚴格之於數學家，就如道德之於人"。
<code>Andre Weil:Rigour is to the mathematician what morality is to men./<code>
安德烈·韋依是法國數學家，也是布爾巴基學派的創始人和早期的領導者。他在數論和代數幾何都有基礎性的工作。他還有個妹妹是著名的哲學家。一家都是厲害的人。
安德烈·韋依（Andre Weil，1906-1988）
2.3 數學之趣
再想跟大家談談數學的另外一個關鍵詞，就是趣。
好玩
數學的趣，我再引用一下我國近代史上著名的數學家陳省身說過的話：
<code>陳省身:數學好玩，玩好數學。/<code>
陳省身(1911-2004)
數
我們來看看數學為什麼好玩。數的本身就很好玩，今天因為時間關係，實際上你隨便給我一個數，我都可以會講這個數字的故事，它很好玩。大家知道數有很多的數列，等比數列、等差數列、斐波那契數列等等。
數還可以排成一個方陣，在中國古代就洛書河圖，還有世界的方陣，這些數排起來都可以非常好玩。
大家還有一個感興趣的倍數和約數，例如：
<code>3 的倍數各位數之和也是 3 的倍數
9 的倍數各位數之和也是 9 的倍數/<code>
當然還有素數，就是隻能被它自己除不能被別的比他小的不是 1 的數除的數。
<code>2，3，5，7，11，13，17，23，29，31，37，41，43，.../<code>
還有很多特殊性質的數，例如完全數。完全數是什麼東西呢？就是一個數，它所有的除了自身以外的約數的和恰好等於它本身。比如說 6 和 28。
<code>6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14/<code>
還有別的完全數，比如 496、8126、33550336 等。
關於數的研究是非常可觀。大家記得剛才講過高斯說"數學是科學的皇后"，其實後面還有一句："數論是皇后上的皇冠"。
高斯（1777-1855）
所以研究數論那些問題都好玩。哥德巴赫猜想剛已經說了，再舉一個例子就是孿生素數猜想：
存在無窮多個素數, 使得也是素數。
例如下面的例子：
(3,5), (11,13), … (82811,82813), …，(99989,99991)
所以孿生素數猜想就是不管你這個數多大，後面總能找到兩個挨在一起的素數。這個很神奇。
這個猜想目前還沒有數學家證明。但是高興地告訴大家，華人數學家張益唐在這個問題上做
出了歷史性的突破。
張益唐（1955-）
另外一個關於數的有趣問題是 3X+1 猜想：
任給一正整數，如果是奇數就乘 3 加 1，如果是偶數就除以 2，一直下去，最終一定會變成1。
幾何
數學還有一個有趣的事情，幾何非常有趣。很多中學生對數學感興趣是在初等數學中學習了幾何後。他們覺得做出輔助線很漂亮。
我再給大家講一個例子，就是所謂的"五點共圓"問題。就是你隨便畫了一個五角星，它上面有五個頂點，這五個小三角形都可以做一個圓。每兩個圓在外面都會有個交點。這 5 個點相連就是一個圓，這很神奇。
形
數學有趣還包括它的形狀非常有趣。比如說，正多面體，也就是每個面一模一樣的多面體，這個多面體在三維空間中只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，別的形狀你也找不到。
還有一個非常有名的叫莫比烏斯帶，是德國數學家莫比烏斯的姓取的。
莫比烏斯（August Mobius，1790-1868）
莫比烏斯帶
我隨便給大家拿一張紙看看，一般都有正面和反面，如果一隻螞蟻在正面，它不會翻跟頭的話，它到不了另外一面。但是如果把這個螞蟻放在莫比烏斯帶的話，它只要在上面爬任何一面它都能爬到。也就是它只有一個面，沒有兩個面，神奇吧！
概率
數學還有一個有趣的就是概率或者隨機。有很多喜歡數學的人會經常問一些關於概率的問題。我這裡跟大家一個非常著名的布豐投針問題 。布豐跟好多業餘數學家一樣，大學也是學的法律。
布豐（Georges Buffon，1707-1788
他提出的投針問題講的內容是：
<code>在平面上畫一些距離為的平行線，向此平面任投長度為($l率是 $2l/dπ$。<="" p=""> /<code>
布豐投針問題
這個結果是不是很神奇？所以同學們可以看到，數學的確有非常非常有趣的一些現象。當然，這些有趣數學家都是可以證明出來的。
極限
數學還有個有趣的是求極限。上過大學的人都知道很多非常有趣的極限題目。其中一個就是洛必達法則。
洛必達法則講的是如果兩個函數都趨向於無窮大的話，就像我們每個人只要我們能夠活得無窮久，我們可以不斷地學習，我們的知識都會趨向於無窮大。但是兩個人相比呢？知識都趨向於無窮大，知識相比，比的是什麼東西呢？比的是他們的導數。導數就是增加的速度。也就是說，長跑比的不是起跑線，比的是速度。所以我非常不贊成很多地方大家都說不能輸在起跑線上。因為我非常愛長跑，長跑不在於起跑線，而在於平均速度。
所以還在小學的同學們不要在乎起跑線，只要將來速度快就行了。當然在數學上求極限，這個叫做洛必達法則。
當然洛必達法則並不是洛必達發現的。約翰·貝努裡發現了這個法則後寫信告訴了洛必達。洛必達將之寫進自己的書中。因此大家稱之為洛必達法則。約翰·貝努裡也有一個得意的地方，就是最偉大的數學家之一歐拉就是他的學生。
洛必達（L'Hospital，1661-1704）
約翰·貝努裡 （Johann Bernoulli ，1667-1748）
旋
數學還有很多很多有趣的地方。但是因為時間關係，我也不能一直講下去。我再講一個生活上的事情，比如一個人頭頂上為什麼會有旋？這個數學家也可以用向量場來解釋。關於這方面的數學定理大學數學系的學生大概都知道。
2.4 數學之難
再一個想和大家講講數學的難。這個在座大部分觀眾都會同意，因為我在這個報告開始之前進行了民意調查，大家都說數學很難。我放了幾張照片，這些照片都是在網上下載的，大家看到不同階段的，從小學到初中到大學甚至到做研究，大家都說數學太難了。
語言難懂
為什麼數學難，我想有很多原因，其中一個就是數學的語言難懂。為什麼呢？數學的語言讓外行不易理解。著名天文學家哥白尼就說數學就是為數學家寫的，別人看不懂。
<code>Nicholaus Copernicus:Mathematics is written for mathematicians./<code>
哥白尼（Nicholaus Copernicus，1473-1543）
著名德國文學家歌德，他說數學就像法國人。法國和德國不對付，不把它翻譯成自己的東西，你就看不懂。
<code>Goethe:Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely different./<code>
歌德（Goethe，1749-1832）
證明覆雜
數學難還難在它的證明很複雜。這是一個著名的數學家 Polya 說的。他是匈牙利數學家，他說這樣一個很明顯的事情，要用一個非常不明顯的方式來證明。
<code>George Polya:Mathematics consists of proving the most obvious thing in the least obvious way./<code>
George Polya (1887-1985)
內容抽象
數學難還難在它的內容非常抽象。因為它高度抽象，讓大眾很難理解。我剛才談到費馬大定理，說起來小學生都知道。關於的方程，當整數時沒有正整數解。去看 Andre Weil 證明這個定理，大家有幾個人能看懂？我再把他那個論文展示出來，我相信大部分人都看不懂。反正我是看不懂，所以大家看有多難。
不同的內容
數學難還有一點大家知道為什麼難，是因為它給我們留下陷阱。它都叫數學，但是不同的階段學的數學完全不一樣。
你看小學生的數學學數，中學時候的數學學幾何方程，大學數學學幾何，到研究生階段大學學不好就更不好懂。就像學騎車似的，你看小朋友騎三輪車，中學生騎個自行車，大學生玩雜技。
所以大家知道為什麼數學難。那是因為我們都用了數學這個稱謂，但是實際上內涵完全不一樣，所以它就很難。
2.5 數學之慧
接下來給大家講講數學的慧--智慧。
聰明
數學一定要非常聰明。大家看到下面這個照片是菲爾斯獎獎章。正面有一個人頭像，這是阿基米德。它上面有一行拉丁文，它的意思是超越人類極限，做宇宙的主人。所以數學家一定是絕頂聰明。
這個報告開始之前有觀眾說數學聯想到的就是禿子。我開始沒想到，所以在網上我查到一張這個動漫說上了 12 年的數學，只記得數學老師是個禿子。但是我好像想了想，我周圍的數學家沒有幾個是禿子。我去查閱有名的數學家，幾乎一個都沒找到。我費了九牛二虎之力終於找到一個古希臘公元前 200 多年前的數學家，我看他的畫像是個禿子。大家一定要記住大部分的數學家都像我一樣，不是禿子。
Eratosthenes，(約 276BC-192BC）
思考
學數學需要思考。現在我們在防疫的過程中，大家都留在家裡。大家知道牛頓發現了萬有引力定律。就是也是一樣在歐洲的黑死病，劍橋大學不開了。
牛頓（Newton，1643-1727)
同學們，現在你們那個時候牛頓一模一樣。牛頓就回家了，就是號稱這棵樹下，蘋果砸了他的頭。所以各位同學們，家長也可去到那個樹底下看看有沒有蘋果砸一下頭。
想象力
數學對想象力的要求非常高。剛剛我講了愛因斯坦，愛因斯坦還有一個有名的名言："想象力比知識更重要"。
另外一個數學家，摩根，他是英國的數學家，也是個邏輯學家。他說過，推動數學的力量不光是推理，更重要是想象力。可見想象力對數學的重要。
<code>Augustus De Morga:The moving power of mathematical invention is not reasoning but imagination./<code>
摩根（1806-1871）
直覺
想象力對數學很重要，但是數學的重大發現，往往它是要無中生有，所以直覺也非常重要。這個 Klein 是德國數學家，可能不是很多學生知道這個名字，但是他的老師是利普西斯。Klein,他說數學最重要的推動不是嚴格的證明，而是直覺。
<code>Felix Klein:Mathematics has been most advanced by those who distinguished themselves by intuition rather than by rigorous proofs./<code>
Felix Klein（1849-1925）
天賦
數學需要天賦，它是智者的遊戲。不少的數學家都很有天賦，剛剛我在第一頁講數學定義，說了哈爾莫斯。他實際上他也是邏輯學者，他說對數學來說，天賦是非常重要，也就是說很多數學家是天生的。
<code>Paul Halmos:To be a scholar of mathematics you must be born with talent, insight,concentration, taste, luck, drive and the ability to visualize and guess./<code>
Paul Halmos（1916-2006）
另外，我引用一個是著名的以色列作家梅厄·沙萊夫的話。他說，數學是人類思維的頂峰。可見他對數學的天賦是有很高的評價。
<code>Meir Shale:Mathematics is the summit of human thinking. It has all the creativity and imagination that you can find in all kinds of art, but unlike art-charlatans and all kinds of quacks will not succeed there./<code>
梅厄·沙萊夫（Meir Shale，1948-）
努力
說了這麼多數學需要聰明，那我不聰明是不是不能學數學？千萬不要這樣。學數學天賦雖然很重要，但是更重要的是努力。我們國家現代數學、現代科學史中，偉大的科學家華羅庚曾經說過這樣的話，"聰明在於勤奮，天才在於積累"。所以大家一定要記住，只要你努力是可以成為數學家的。
華羅庚（1910-1985）
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