說到二項式定理，這應該是初等數學中比較有趣的一個內容。因為二項式定理涉及到了代數學，組合學。很多的關於二項式定理的文章都是講如何通過組合方法或者數學歸納法來證明二項式定理的。組合論證方法以及數學歸納法都是初等數學中的經典內容，組合論證二項式定理的證明過程看上去有些抽象，而數學歸納看起來更像是事先知道結果而進行的略有些枯燥的論證。這裡並不是說這兩種方法不好，只是說這兩種方法看上去更像是某種靈光乍現的猜想。這兩種具有猜的性質的方法證明了二項式定理。
數學的歷史上很多優秀的結果以及進展都是通過猜想的方法得到的，牛頓也是通過猜想的方法得到廣義二項式定理的，而廣義二項式定理的證明是由歐拉完成的。猜想是推動數學進步的重要手段，著名數學家波利亞也是這樣認為的。
眾所周知的費馬猜想作為難倒數學家百年的難題被懷爾斯證明了，而費馬猜想對於數學的貢獻不僅僅是其證明本身，而是在於數學家們不斷的探索證明方法的過程中所提出的新方法，新思想。
數學家懷爾斯
各種各樣的數學猜想在挑戰人類智慧的同時也推動著人類數學文明的發展。
可以確定的是：猜想是數學中非常重要的方法！ 但是如果讓學生更好地掌握二項式定理，作為學生有時會希望通過更直觀地方法記憶二項式定理，這時通過高等數學的方法進行二項式定理的驗證可以給人一定的啟發。有一本非常著名的數學著作叫做《高觀點下的初等數學》裡面的內容就是數學家克萊因用高等數學的觀點去審視初等數學，讀者可以發現很多初等數學中比較困難的問題通過高等數學工具的引入都能得到很簡單驗證。我們可以用導數法來驗證二項式定理，可以幫助我們更好地記憶二項式定理。
我們用導數法來驗證二項式定理可以讓我們看到高等數學與初等數學的一些聯繫，但是這種驗證並不能稱為證明，這是因為驗證所用到的結論是由二項式定理證明而來的。
要驗證二項式定理我們會進行如下思考：
我們想把如下的式子展開成指數次冪相加的形式，那麼我們應該怎麼做？
我們不妨假設1+x的n次方可以展開成如上圖所示右邊的形式，在這個等式的右邊：a1，a2，a3...這些都是待定的係數。
我們對f（x）求一次導可得到如下圖所示的形式：
觀察常數項a1，當我們去x=0時，可以得到a1的表達式：
我們繼續對f(x)求二次導，三次導並帶入x=0可得：
這樣我們就驗證了二項式定理。
二項式定理是數學中非常基本的定理之一，用高等數學的方法驗證出二項式定理的過程看上去非常簡單。
用導數法來驗證二項式定理是高等數學在初等數學中的一個應用，如果嚴格證明二項式定理的話可以用數學歸納法和組合論證方法，比較組合論證法與數學歸納法，你認為哪種方法更有趣呢？你認為還有什麼方法可以證明二項式定理呢？談談你的看法！
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