作者 | 大吳來源 | 大小吳的數學課堂

1 投針實驗

1777 年，著名的法國自然科學家、數學家蒲豐在家中宴請賓客。

但這次可不是什麼上層名流的沙龍聚會，蒲豐邀請朋友們來是為了完成一個實驗，這個實驗的操作方法非常簡單：

• 1）取一張白紙，在上面畫上許多條間距為 的平行線。
• 2）取一根長度為平行線間距一半的針（即長度為 ），隨機地向畫有平行線的紙上擲 次，觀察針與平行線相交的次數，記為

賓客們開始投針並統計……

最終，統計出一共投針

針與平行線相交的次數正當賓客們疑惑蒲豐葫蘆裡到底賣的是什麼藥的時候，蒲豐微微一笑，說道：“好了，我的朋友們，現在可以計算圓周率了，方法很簡單，把 與 相除即可”賓客們大呼驚奇！計算出來的值精確到了圓周率 小數點後 2 位！蒲豐表示：如果投針次數更多，計算出來的 值將更精確。這就是著名的蒲豐投針實驗。

2 證明

投針明明是一個隨機事件，為什麼結果能與 有聯繫呢？

我們首先考慮針落在畫有平行直線的紙上的位置由哪些變量決定。

無論針有沒有落在平行線上，有兩個變量是我們需要特別注意的：

針的中點到最近的平行線的距離

由圖可知，當針處於不同的位置時，這兩個變量是不盡相同的，換句話說，這兩個變量唯一確定了針的位置。

再來看看 與 的範圍。

由於我們對 的定義是：針的中點到最近的平行線的

因此，對於間距為 的平行線， 的大小不會超過 ，因此有

對於夾角 ，我們認為是可以取到鈍角的，

因此有

綜合上面兩個變量的範圍，我們可以作出平面直角座標系，橫軸是 ，縱軸是 ，得到如下藍色區域

熟悉概率論的同學可能已經知道了，這實際上就是一組二維連續型隨機變量，這個藍色區域內的任意一點（，）都唯一對應了一種針掉落的情況。

現在的問題是，當針掉落在平行線上時，點（，）應滿足什麼樣的條件？

我們把針看成是線段 ，取中點 ，過點 作平行線 ，再過點 作 ，由三角函數的知識可知：

注意到上圖是針與平行線相交的情況，可以發現相交時，總有

即

相應地，當針不與平行線相交時，如下圖所示：

這時有

這個不等式組與座標軸圍成的區域如下圖所示：

假設矩形區域的面積是 ，上面不規則區域的面積是 ，現在只需要把 和 分別求出，根據幾何概型

是很好求的，它就是矩形面積，即有 需要一些定積分的知識因此，針落到平行線上的概率是 ，根據大數定律可知，當投針的次數越來越多時，針與平行線相交的頻率 會越來越接近於 ，因此有

3 一種更為直觀的解釋

上面的證明方法涉及到了很多數學知識與概念，也許你仍然會很疑惑：結論中的 是怎麼神不知鬼不覺地出現的？是否還有更為直觀的解釋呢？

現在讓我們來考慮任意長度與形狀的鐵絲，如下圖所示，把這樣彎曲的鐵絲扔在佈滿平行線的紙上，

我們可以得到一個有趣的結論：彎曲的鐵絲與平行線的平均交點數量只與鐵絲本身的長度有關，即鐵絲越長，平均交點數量也越大，兩者成正比例關係。

為什麼呢？我們可以把這根鐵絲看作是很多條短小的直線段組成的，那麼在大量投鐵絲的實驗後（比如 1 萬次實驗），鐵絲與平行線相交的總次數就等於所有小線段在 1 萬次實驗中與平行線相交次數的總和，而每條小線段的形狀都可以看作是相同的，經過大量實驗後，它們的落點最終會均勻分佈在整張紙上（儘管它們原來是首尾相接的）。因此，在這 1 萬次實驗中，每條小線段各自與平行線的相交總次數都大致相等。鐵絲越長，鐵絲所含的小線段就越多，鐵絲與平行線的總交點數就會越多。

所以由上述分析可知，平均每次實驗中鐵絲與平行線交點數必然與鐵絲的長度成正比。我們假設鐵絲的長度是 ，鐵絲與平行線的平均交點數是 （也可以稱作是針與平行線交點的

其中 是一個常數。

這個常數是可以求出的，接下來就是最為神奇的一步：假設平行線間距為 1，把一根長度為 的鐵絲彎成一個圓，易知其直徑就是 1，與平行線的間距相同。想想看把這個圓環扔到紙上後，會出現什麼情況？

可以看到，無論是相切的特殊情況還是一般情況，圓環與這組平行線

因此

的值確定了，我們就可以知道任意長度的鐵絲（針）與平行線的平均交點個數：

平均交點個數是 ，意即針與平行線交點的期望是 ，這與前面提到的“針落到平行線上的概率是 ”的說法是等價的，通過這個方法我們也巧妙地證明了蒲豐投針問題。

4 小結

無論在自然科學還是社會科學中，發生的現象都是多種多樣的，概率論研究的對象就是在自然界或是社會中發生的隨機現象。

人類在長期的實踐與研究中發現某些隨機現象在大量重複試驗或觀察下，它的結果會呈現出某種規律性。比如本文介紹的蒲豐投針實驗；又比如多次重複拋一枚硬幣得到正面朝上的結果大致又一半；多次重複投擲一個骰子，得到六點朝上的結果大致為六分之一；當樣本量足夠大時，人的身高將服從正態分佈……

這種在大量重複試驗或觀察中所呈現的固有規律性，稱之為統計規律性。概率論與數理統計就是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門數學學科。

參考文獻[1] 顧森.思考的樂趣——Matrix67 數學筆記[M].人民郵電出版社，2012.[2] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第四版）[Z].高等教育出版社，2008.

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關鍵字: 自然科學 蒲豐 圓周率