01
數學之難
“我家孩子每天學習到12點，太辛苦了，看得我心疼！”
“我的數學不好，我孩子這一點上完全繼承了我……”
“數學學到初中會算數就好了……”
“我家孩子不細心，馬虎大意，還是做題少！”
……
作為一名數學教師，時不時地會與家長們交流，聽到的負面信息比較多，也許“別人家的孩子”才是父母心中的理想下一代吧！
正如網絡上的一句話，“逼急了我什麼都做得出來，除了數學……”
沒有哪個學科會像數學給人的恐懼感來得強烈，平均每五個人中會有1個懼怕數學！
我也曾經問過學生：“你們發現了數學中的美和樂趣了嗎？”
得到的答案是：“美？你在逗我們吧！樂趣倒有一點……”
看來，如果您是位小學或初中的數學教師，不要著急要學生們認知到數學的美，而先讓其深入數學，發掘學習數學的樂趣。
我們當前的數學教育多數情況下是在既定的定理下完成題目的證明，重複重複再重複，直到學生們掌握了這個題型為止，我想，這絕對不是數學教學的本意……
如果您有這方面的困擾，那麼就看看這本書《思考的樂趣》。
作者簡介：顧森，北京大學中文系畢業，數學愛好者。
2005年起書寫各類數學文章超過千篇，從事中學數學教育工作多年。
02
幾何篇——眾人尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處
如果您是初中數學老師，一定聽到過學生們訴說：“老師，這個題我就是沒有想到輔助線怎麼做……”
幾何給人的感覺如同萬花筒，光彩迷人，有時會深陷其漩渦之中。
幾何沒有捷徑，需要具備敏銳的觀察力與想象能力，當然還有奇思妙想的大腦。
小試牛刀
如圖所示，ABCD是長方形，DEFG是正方形，已知DE=4，CD=5，求BC的長.
注意：這是一道小學範圍內的題目（不能用相似、勾股定理等求解）
乍看起來，此題無論如何不能用小學知識解答的，當我們連接CG之後，一切都迎刃而解了……
我們發現三角形CDG的面積既是長方形ABCD面積的一半，也是正方形DEFG面積的一半，這樣，就可以得到算式：BC×CD=DE×DE，
代入得到：BC=3.2.
類似的題目有很多，如下圖所示，陰影部分是正方形，求其邊長？
同樣的，這道題目也是小學級別的，不能用相似來求解。
稍微將腦洞放大，就可以得到下面的圖形，
很明顯我們得到正方形面積等於紅色長方形的面積，即36，正方形的邊長為6.
不要小看這小小的平移及等積轉化，它還可以解決高中知識呢！
四邊形是平行四邊形，其中一頂點位於座標原點，該四邊形的面積為：|ad－bc|.
我們看一下平移及等積轉化的過程：
奇思妙想
求證：當n為奇數時，正n邊形從某一頂點出發的（n-3）條對角線將其分成（n-2）個三角形，那麼有且只有一個三角形是銳角三角形.
這是n=5、7、9時的情形（各畫了一種分割方法）
從圖中可以看出問題的正確性，可是要怎麼證明呢？
這就需要用到：如果一個三角形是銳角三角形，當且僅當其外心在其內部。
這就一目瞭然了，無論哪一種分發，正n變形中心必是所有三角形的外心，而這個外心必在某個三角形內部，這個三角形即為銳角三角形。
拍案叫絕
在一個單位正方形內，有兩個互不重合的小正方形，求證：這兩個正方形的面積之和不可能大於1。
這個定理的證明需要用到一個定理，在一個直角三角形內部作正方形時，正方形頂點在直角頂點時面積最大。
由於兩個正方形是相離的，則一定能找到一條線段MN將兩正方形分開，與對角線AC交於一點P，分別過P作正方形各邊的垂線。
則正方形AEPG是三角形AOM內部最大正方形，即上方正方形面積不大於正方形AEPG面積，邊長不大於AE；同理下方正方形的邊長不大於CF，這樣，兩個正方形邊長的和不大於1。
令人歎為觀止的皮克定理
在由邊長是單位1的正方形組成的圖形中，如果一個三角形頂點都在格點上，其面積怎麼求解？
利用割補法很容易就求出三角形的面積為：5.
奧地利數學家皮克發現：不僅是三角形，任意多邊形，只有每個頂點都在單位正方形的網格的“格點”上，它的面積為：I+B/2-1。這就是皮克定理。
其中，I是多邊形內部所含的格點數；B是多邊形邊界上的格點數。
比如上面的圖形中，I=4，B=4，三角形的面積等於4+4/2-1=5.
上面兩個圖形哪個面積大？通過計算發現，面積都等於0+16/2-1=7.
在一個點陣中，畫一條經過所有點恰好一次的迴路，得到多邊形的面積一定是相同的。
03
數篇——暢遊數字海洋
數學倒過來唸就是學數。可見，數對於數學來說是至關重要的，有一門數論學科是專門研究數的，比如我們所熟知的畢達哥拉斯定理、角谷猜想、親和數猜想等等。
數論的表現形式很簡單，但證明過程有時候會很難。比如陳景潤在證明“1+1=2”一個分支問題時就寫了幾百頁之多……
這本書中提出了幾個有趣的問題以饗讀者。
0和1的天下
2的5倍是10，3的37倍是111，4的25倍是100，……是否對於任意正整數n，都能找到一個n的倍數，它全是由數字0和1構成？
答案是肯定的。
考慮數列1、11、111、1111、……由於任意一個正整數除以n，餘數只有n種可能，因此數列的前n+1項中一定有2項除以n後的餘數相同，這兩項的差即滿足條件。
瘋狂的數字
證明：存在任意長的連續自然數序列，使得序列中的每一個數都是合數。
任取一個正整數n>1，n！+2是2的倍數，n！+3是3的倍數……n！+n是n的倍數，所以，序列n！+2、n！+3、…n！+n是一個含有n-1項合數的序列。
由於n可以取到任意大，此序列有任意長。
崩潰的答案
證明或推翻：a^3+b^4=c^5沒有正整數解。
令很多學生崩潰的是，此題的答案只有寥寥一句話！
答案：因為2^24+2^24=2^25，
所以（2^8）^3+(2^6)^4=(2^5)^5。
04
生活中的數學——體驗摺紙的快樂
我們知道，尺規作圖不是萬能的，比如倍立方體。（即將立方體體積擴大為原來的2倍）
書中提到了一個非常有意義的事情，就是折出2的立方根，解決尺規作圖不能完成的任務。
第一步將正方形三等分；第二步將A、B的落點分別在三等分摺痕處，對邊上；這樣B’就將邊界分成了2^(1/3)：1的兩部分。
利用相似與勾股定理即可求得其結果的正確性。
05
挑戰思維的廣度——數無界，思維無界
我們知道實數有無窮多個，可它的證明卻歷經了很多年，由康托爾用一種很簡單的方法證明出來。
在區間(0,1)之間的實數集是不可數的，康托爾用了反證法來證明了這一論點。
將集合（0,1）內的所有實數按某種順序排列為：a1、a2、a3……，這裡的每個數都是0點几几幾……的無限小數，也可以是有限小數後面添加無限個0，
比如：
a1=0.21231457……
a2=0.32144547……
a3=0.10000000……
a4=0.32554781……
a5=0.12220000……
a6=0.91231457……
……
下面我們構造一個新數，它也屬於（0,1）區間，但不在這張表中。
這個數小數點後第一位不同於a1的第一位，第二位不同於a2的第二位……
那麼這個實數將區別於上面那個列表中任意一個數，因此，我們不可能將所有0到1之間的實數一個也不少地排成一列。
人的思維無限……
寫在最後，用作者自己的話來表述這本書的意義：
如果你是剛剛體會到數學之美的初中生，這本書會帶你進入一個課本之外的數學花園；
如果你是奮戰在技術行業前線的工程師、教師，這本書或許能不斷給你帶來新的靈感；
如果你並不那麼喜歡數學，這本書或許會逐漸改變你的看法……
顧森——《思考的樂趣》
趣味性：★★★★★
可讀性：小學生 ★★
中學生 ★★★★★
大學生 ★★★★★
教師（家長）★★★★★
這是小編看過的為數不多的好看的國產初等數學科普作品，而且很有“良心”，如果你是位中學生或教師或家長，這本書值得一讀，無論年少男女老幼！
如果您覺得文章有用，請順手在文末點“在看”。
END
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