顧險峰，美國紐約州立大學石溪分校計算機系終身教授，哈佛大學數學科學與應用中心兼職教授。曾獲美國國家自然科學基金CAREER獎，有華人菲爾茨獎之稱的晨興應用數學金獎等。他是國際著名微分幾何大師菲爾茨獎得主丘成桐先生的得意門生，在丘先生的指導下，將抽象的現代幾何與拓撲理論轉化成實用的計算方法。創立了橫跨數學與計算機科學的學科計算共形幾何，並廣泛應用於計算機圖形學、計算機視覺、計算機輔助設計、物聯網、醫學影像，和人工智能等領域。
計算機專業，幾十年沒有發展，核心就是基礎的數學理論沒有看清楚，很多事是幾何理論沒有看清楚。有的理論得到了飛速發展，是因為終於有一個幾何理論取得了突破，將現代數學的這個思想方法引入到這個理論裡面。
從小處說，計算機非常好玩、非常強有力，甚至可以說計算機能改變世界。數學非常優美、非常深刻，如果能領悟到其中一些原理，作為凡夫俗子，這是最切實可行的方法讓我們可以真正體會到宇宙的真理，得到宇宙永恆的精神。哪怕我們瞭解一些皮毛，也能夠更多地理解宇宙的真諦，這是多麼深奧的一個話題。
幾何是自然界的語言，最深刻的幾何原理，也是人類最能審美的一個方向。所以，越深刻的幾何原理，人類通過直覺越容易領會到。今天這裡，我們不講數學公式，所有東西都用藝術，或者是其他比較淺顯的方式來講解。
藝術與數學幾何的結合
建築設計中的數學幾何原理--大興國際機場
北京的大興國際機場，被稱為世界七大奇蹟之首，耗資800億。它的造型非常地瑰麗，氣勢非常宏偉，像一個鳳凰一樣。這個建築是國際著名建築師--女魔頭扎哈·哈迪德設計的。哈迪德本身是學數學出身，她創立了一個新的學派。這個學派最大的特點就是，用黎曼幾何，來取代歐式幾何。
歐式幾何，就是說地是平的，牆是直的，窗戶都是正方形的，看起來非常地中規中矩。而哈迪德，把一切變成了曲面，在曲面上設計非常複雜的曲線，她由此也被稱為了--曲線之王。
我們通過哈迪德的建築設計，可以體會到很深的一些數學原理。如果我們從空中鳥瞰大興機場的棚頂結構，有一個非常漂亮的六芒星的結構。建築上有很多非常光滑的曲線，實際上看它內部的鋼架結構，裡面有兩族彼此垂直的曲線結構。這個形態非常優美，而它在幾何中是對應一個非常深刻的數學概念，叫做葉狀結構。為什麼要設計成這種結構呢？這種葉狀結構，在曲面上是無處不在的。
建築設計-曲面葉狀結構▼
這邊我們畫一個非常常見的一個兔子的模型，在上面有兩族葉狀結構，一族是藍色的，另一族是紅色的，處處彼此垂直，把這個曲面非常均勻地分成了四邊形網格。在建築設計中，每個四邊形網格，可以對應一塊玻璃，或者一個鋼架結構。
這個結構在自然界中，是無處不在的，它也是異常優美的。扎哈，她不見得理解這套數學理論，但是通過單純的審美，她把這個這套數學結構，用到她的建設設計之中。我們回頭再來看大興機場內部的鋼架結構，從本質上講，它得到了兩族調和的葉狀結構，結構中間存在一個穩定的奇異點。
所以大興機場，其實非常完美地體現了，藝術和數學的結合。
三維掃描技術
在過去的10年裡，計算機科學領域最大的一個突破點，就在三維技術上。人們可以非常容易地得到三維的數據結構。
我們用三維掃描，可以得到一個人臉的模型。這裡用結構光的方法進行掃描，掃描速度非常快，解析度也非常高。我們可以看到他動態的表情變化，每一幀，有差不多50萬個採樣點。這樣可以得到非常迅速的、大規模的三維數據的採集。
通過掃描撒貝寧先生的臉，得到了非常完美的紋理和幾何 ▼
從今天來看，三維掃描的技術，已經非常成熟。我們瞬間可以得到大量的三維數據，但是現在整個瓶頸變成了軟件。我們如何來處理這些非常難以處理的三維的數據，現在是非常具有挑戰性的問題。
應用計算機傳統的，線性代數，我們只是能處理平直空間的問題。對於曲面的話無能為力，因此我們必須要引入現代的微分幾何和共形幾何 。
文藝作品中的數學幾何原理
這些概念比較深刻，我們先用藝術家的觀點來解釋。
有一個特別知名的荷蘭畫家叫埃舍爾。他一輩子創作了大量的將數學和藝術結合的畫作。這幅圖畫就是他的一個非常有名的畫作，叫做《畫廊》。
似幻還真，畫中的虛擬世界和現實世界融為一體▼
左側有一個男青年，他站在畫廊之中，看牆上的一幅畫。這幅畫畫了一條河，河裡有一艘船，河對岸是一個畫廊。這個畫廊中也有一個男青年，在看牆上的一幅畫，那幅畫上是什麼呢？有一條河 河對岸有個畫廊。所以它實際是一個無窮嵌套的結構。
左側，這個畫廊是真實世界的畫廊，而圖上的畫廊是虛假的畫廊。
在右側，真實的世界，和虛擬的世界融為一體。從虛假世界融入到真實世界。
這幅畫在歷史上非常有名，激發了很多後來的藝術工作。比如說大家熟知的《盜夢空間》還有《駭客帝國》，本質思想就是把虛擬和現實融為一體。
那麼這幅畫作的數學原理究竟是什麼？中間這個奇異點內部究竟發生了什麼？
其實，變換雖然非常劇烈，但是局部的形狀，沒有發生變化，所以這種變換有一個特殊的名字，叫做共形變換。共形的意思就是局部保持形狀。
（平面共形變換：局部保持形狀，整體劇烈變化）
（曲面間的共形變換：彎曲展平直，三維變二維，降維攻擊，局部保形）
右邊的圖由左邊照片處理而得，圖片整體發生扭曲，但局部物品的形狀並未發生形變（局部保持形狀，整體劇烈變化）▼
共形變換與一般變換的比較▼
劉慈欣的《三體》有一個非常厲害的文明，叫歌者文明。後來歌者文明決定毀滅太陽系，毀滅的方式是發來一個二向箔。二向箔飄到太陽系之後，把整個太陽系三維的空間變成二維。整個流入到二向箔裡面，這就是所謂的降維攻擊。降維攻擊的意思就是，把高維變到低維。
這是米開朗基羅的一個大衛頭，我們將這個大衛頭三維的曲面平展到二維的平面上，這樣就把三維變成了二維，把彎曲的空間變成了平直的空間。
我們看它所有的細節，大衛頭的眼睛和耳朵映到平面保持沒有發生改變，非常複雜的頭髮映過來也沒有發生改變。劉慈欣作為一個作家，他用非常瑰麗的想象，想象出降維攻擊實際上在幾何上的確存在。
通過保角變換我們的確可以實現降維，把三維變成二維。極大地簡化了計算問題。在微分幾何和共形幾何中，有一個非常深刻的定理，我個人覺得也是整個幾何界的具有奠基性的一個基本定理叫大一統定理。
（大一統定理：克萊因、龐家萊單值化：任意度量曲面都可以共形地映射到球面、歐式平面或者雙曲曲面上。）
根據這個定理，所有的曲面都可以在保角的變換下變成三種標準幾何中的一種或者變成球面或者變成歐式空間或者變成雙曲空間。
大一統定理的含義非常深遠，它能說明從你當下所處的地方一直到宇宙的邊緣，所有三維實體的表面都是曲面。所有的曲面無論多麼複雜，無論怎麼千變萬化，最後都會歸結為三種中的一種，萬宗歸一。
遊戲、動漫中數學幾何的運用
有了這個大一統定理之後，我們生活中怎麼具體來應用？從大量的實例來看，這些深刻的數學理論在現實生活中是非常有用的。
電子遊戲
電子遊戲，人人都愛，電子遊戲最大的一個突破叫紋理貼圖。紋理貼圖怎麼解釋呢？
在遊戲公司裡，有兩種藝術家。一種藝術家是做雕塑的，比如我們大家看到上圖中的白模，白色的雕塑。另外一類藝術家，他們是為這個雕塑塗上顏色，畫出皮膚、畫出紋理、畫出鎧甲的。第二類藝術家只能在平面上進行作畫，這就需要一個技術，就是把平面的圖畫貼到三維的曲面上並且使它畸變儘量地減少。比如說我們在平面上畫上大理石的紋路，然後把這大理石的紋理貼到這個大衛頭上，得到的就是下圖這種大理石雕塑的感覺。
在紋理貼體圖技術發明之前，整個計算機圖形學發展得非常的原始。所渲染的物品，看起來非常的不真實。正是因為這個技術的發展，使得遊戲，還有動漫產業變得非常普遍。
但是也遇到一個矛盾，如果我們想打一個非常複雜的遊戲，那要保證它渲染的速度。如果遊戲的幾何體過於複雜，三角面片太多，速度就會特別慢。一方面你想得到非常精細的法向量的信息，一方面又想使數據量減少。如何解決這個矛盾呢？
在圖形學中有一個技術，叫做
法向貼圖。就是說我們把這個曲面攤平，攤到平面上。然後我們可以看到，每個Pixel，有3點，有3個顏色，紅綠藍。用這個紅綠藍，代表法向量的XYZ。法向貼圖可以非常細膩，但是幾何可以特別粗糙。這樣就同時兼顧了渲染的法向量的效果，又減少了數據量，提高了整個運算速度。所以法向貼圖也是整個電子遊戲界，一個非常基本的技術。
這裡最難的就是，如何保證把三維的複雜曲面印到二維平面上來，同時使得每個區域可以按照你的要求放大或者縮小。比如說我們想放大這個怪獸的翅膀範圍，如何使得這個翅膀變得比較大。如果我們想突出某個部分，使這個部分比較大，這後邊用到很深刻的幾何原理。大家天天都在打的電子遊戲，最深層的研發和設計是用到非常深刻的數學原理的。
人臉曲面配準
在安防領域，也用到大量的計算機視覺的知識。三維人臉識別、三維人臉註冊，非常普遍用到的數學幾何原理。
給定兩張三維人臉，如何在他們之間，建立比較好的一一映射？我們的方法就是把三維人臉，用黎曼映照，映到二維的圓盤上。這樣通過降維攻擊，就把這三維問題變成了二維問題。二維問題，會簡化非常多。
三維幾何問題轉換成二維圖像問題▼
比如說我們要把這個男孩的這張臉映到女孩這張臉。那麼第一步，我們可以用一些機器學習的方法，找到人臉上的特徵點，比如眼角、鼻窩還有鼻尖，然後使特徵點對齊。第二步，使得整個的畸變達到最小。使畸變最小這個映射，被稱為泰希米勒映射。
畸變由什麼決定呢？是由兩族Foliation（葉狀結構）決定，調和葉狀結構決定。換句話說，這個映射後邊蘊藏的數學，和大興機場蘊藏的數學是一致的。
那麼為什麼我們要得到非常精細的映射呢？主要是為了做精準醫療。歐美的白人他們祖先生活在寒帶，所以他的基因中缺乏抵禦紫外線的功能。所以對於白人來講，非常容易得皮膚癌，也就是所謂的黑色素瘤。黑色素瘤非常小，肉眼幾乎不可見，低於毫米。如果用人工去篩查這個黑色素瘤就會非常痛苦。我們就發明這種方法，同一個人每隔一年掃描一次，然後精細地篩查在皮膚上逐點比較看哪一點皮膚髮生突變。這樣可以非常自動地找到這個黑色素瘤。所以我們可以看到，計算機視覺在醫學上也有很深的應用。
動漫
動漫領域，這些方法也有很好的應用。在動漫電影中，動作捕捉和表情捕捉是非常關鍵的技術。比如武打片的動作捕捉，就是要得到各個關節的信息。但是動作捕捉非常容易，因為人的關節只有幾十個，表情捕捉卻非常難，表情的自由度有無窮多個。所以現在整個動漫產業，最困難的就是表情捕捉。那麼怎麼進行表情捕捉呢？
我們把動態的三維人臉，通過黎曼映照映到二維的圓盤上，然後用剛才的方法可以建立幀與幀之間的一一映射。
把一張藍色的四邊形網格貼到第一張臉上，那麼它依隨這個人臉的變化而變化。這個藍色網格上每一個點會得到三維空間中的一條軌跡，這個軌跡就代表了這個表情的信息。我們可以把這表情信息拿出來，去移植到其他的卡通人物身上。
這是我們做的一個實驗。把三維的人臉表情拿下來，然後進行表情捕捉。這樣，我們就建立一個虛擬演員的概念。
現在小鮮肉拍攝非常非常昂貴。那麼我們是不是可以把他的所有的表情以三維的方式記錄下來，然後導演來決定，到哪一個情節、哪一個臺詞，用什麼表情，從數據庫中給它取出來。如果這樣，我們不需要這個演員真正來出演，只需要得到他的數字版權就可以。
在這邊我們找了一個演員，把他的一些標準表情給數字化，然後做了下面一個非常小的一個電影片段。這邊的整個場景是假的，是用Maya（三維動畫）做的。人也是假的，表情也是假的。所以我們相信虛擬演員這個技術，未來可以在VR、AR中很大地普及。
在虛擬現實、增強現實中，數據壓縮是一個非常關鍵的問題。比如我們為了表達一張老人的臉，飽經滄桑、滿布皺紋，需要大量的幾何信息。如果要通過無線網絡來傳遞這個信息，或者是本身硬件性能比較差，渲染速度就非常慢。如何來壓縮這個複雜的幾何信息是一個非常關鍵的問題。
用剛才的大一統定理，我們把一個老人頭映到平面的圓盤，然後再控制每個區域在平面上的大小。比如說它曲率比較高的地方，皺紋比較高的地方，讓它在平面的區域變得比較大。
比如這幅圖，我們在平面上採樣，採樣之後在平面上重新進行三角剖分得到這個簡化的模型。這邊如果我們只用2000個這個採樣點，得到的是左側這張人臉。如果用4000的話得到右側這張人臉。所以增加採樣率，可以使得圖像幾何的特徵越來越細膩。這樣就可以求得一個渲染的質量和這個所謂的空間的存儲一個很好的一個平衡。這是在VR、AR中幾何壓縮的一個應用。
醫學圖像領域中數學幾何的應用
在醫學圖像領域，共形幾何用得也非常廣泛，比如說
共形腦圖。人的大腦，形狀非常地複雜，有很多溝回，這些溝回，隨著歲月的增長是會發生變化的。比較兩個大腦本身來講非常困難。通過剛才大一統定理，我們知道存在一個共形變換。把大腦映到單位球面上，並且這個映射，基本是唯一的。得到這個映射之後，我們為大腦的每一點，確定唯一的經緯座標。這樣可以在大腦上精確地定位，進行比較。
老年痴呆症是一個非常普遍的一個疾病。人的大腦根據功能有很多種分區。比如最中間的這個山谷，是胚胎期最先形成的一個皺褶，人的感情，基本存在這個皺褶兩邊。
下圖中，不同顏色代表不同的功能區域。有的區域主管語言，有的區域主管著運動，有的區域主管感情，有的區域主管推理。老年痴呆，是對應的某些功能區域會發生萎縮。
如果我們通過共形腦圖，來進行精確的比較，發現老人的語言中樞開始萎縮，可以讓他學一門新的外語，這樣就可以延緩他老年痴呆症狀。如果他的感情中樞開始萎縮，讓他多參加社交，如果他的運動中樞開始萎縮，讓他去跳廣場舞，這樣可以加強對這個區域刺激。
在醫學圖像中的，另外的應用，是關於癌症檢測。直腸癌，是男子的第四號殺手，普通男子過了中年之後，腸子裡面會長出一些息肉。如果息肉的位置長得不對，經常地摩擦潰瘍，摩擦潰瘍之後複合，複合之後又反覆摩擦潰瘍，它的DNA複製次數就會非常多，這樣就非常容易出錯，出錯之後就會形成癌變。
從一個息肉變到癌變，一般需要5到8年，如果在這期間，進行了腸鏡檢查，就可以非常有效地預防和防止。但是傳統的腸鏡檢查非常痛苦，病人需要全身被麻醉，同時腸鏡檢查的方式具有非常強的侵犯性。並且老年人的腸壁肌肉非常薄弱，很容易產生非常強烈的併發症。
還有一個很大的問題，直腸有很多皺褶，如果我們的息肉長在皺褶裡面的話，傳統的光學方法是看不到的，所以用傳統的檢測方式來進行檢查會有大概30%的漏檢率。
於是我們就發明了虛擬腸鏡的方法，核心的想法就是--把腸子的皺褶打開攤平到整個平面上。如果以傳統方式來檢查，在活人身上是不可能實現的，但是用數字模型可以做到這一點。虛擬腸鏡可以把所有腸壁的皺褶給攤開，把所有的息肉暴露出來，然後我們用CT來掃描人的直腸得到數字模型。於是，醫生就可以戴上VR眼鏡，來觀察腸道的內壁。
我們來看一個簡單的例子。用偽彩色表達腸道內壁，那核心的話我們是要尋找一些腫瘤，或者一些比較大的息肉，那麼在這個腸道中探索這個和真實的光學腸鏡這個體驗是非常相近的。通過這種方法我們就能看到一些比較可疑的息肉。
虛擬腸鏡有非常多好處。第一，病人不需要全身麻醉。第二，醫生和病人沒有肢體接觸，第三，我們能暴露所有潛在的息肉，提高診斷的準確率。
這個技術現在北美和日本用得非常普遍，在中國大陸，所有的醫院幾乎都有這套算法但是很可惜沒有被真正用起來。那麼它後邊基於的是什麼？就是我們講到大一統定理歐式的情況。非常艱深的幾何用於醫療，的確挽救了非常多的生命。
智慧製造與智慧材料
智慧製造，是現在發展方興未艾的一個方向。如果需要我們用碳素纖維編織一個複雜的曲面，那麼如何把曲面變成編織的模式，這就需要計算葉狀結構。
通過幾何可以把複雜的曲面，分解成兩組調和的葉狀結構，黑色代表一組，白色代表另外一組，它們彼此編織起來可以構成任何複雜的形狀。在現實生活中，只要有了計算出來的葉狀結構，我們就能夠用碳素纖維把它編織出來。
我們再看一個更復雜的模型，人手的模型，左側的紅色和藍色代表兩族葉狀結構，右側是用葉狀結構得到的編織模型。真正編織出來的這個三維的形體，按照複雜曲面上的葉狀結構而得。
這個結構在計算力學中是非常有用的。比如說我們設計了一個，汽車的發動機。製造一個發動機非常昂貴，在製造之前，我們需要對它進行模擬仿真。模擬仿真的意思就是說在這個發動機上要解一些偏微分方程來計算它的力學特性、熱力學特性、電磁特性。為了保證計算的精度，我們需要在這個曲面上進行四邊形網格剖分，使剖分儘量地均勻，奇異點儘量地少。
發動機設計，存在於工業界六七十年，但是一直介於藝術和科學之間。沒有一種完全自動的方法，完全靠人的手工去調整。直到最近我們才發現，原來這種技術強烈地依賴於一條非常古老的定理，一條阿貝爾和雅可比幾百年前發現的定理。但是找到這個定理和這個工程問題之間的聯繫，花了人們幾十年的時間。
在智能製造中，人們用數控機床來加工各種各樣的金屬毛坯，用金屬車刀來車這個金屬的時候，要計算車刀的速度和加速度。這就需要毛坯的曲面，一定是光滑可導的。在動漫動畫領域中，曲面不需要可導，只需要連續就可以。但是在機械加工領域，曲面一定要可導。這就需要把粗糙的點雲信息，變成樣條曲面。這一步也需要把曲面先映到平面上來，在平面上去架設比較光滑的樣條，這項技術用到的是同樣的這個幾何原理。
智慧材料，現在發展非常神速，核心是因為3D打印技術的出現。比如說我們想設計一個防彈衣、防彈面罩，需要用到一種自然界並不存在的負泊松比材料。在自然界中所有的材料都是正的泊松比。一塊長方形的橡皮，當你上下擠壓它的時候，它的左右會突出。左右擠壓的時候，它上下會突出。但是負泊松比，你上下擠壓它的時候它左右會收縮，你左右擠壓的時候，它上下會收縮。如果用負泊松比材料製作防彈衣或防彈面罩，當一個子彈打來的時候，它受力的地方密度會變得更加大，從而達到非常好的防彈效果。這種不存在於自然界的材料，可以通過設計這種材料的幾何的微元用3D打印製造出來。
下圖用紅色圈出的藍色結構，代表材料的微元。按照傳統的方法，微元只能在平面上設計。我們想做一個三維的面罩的話，需要把人臉的面罩映到平面上，然後把負泊松比材料面元鋪到平面區域再拉回到三維的曲面，最後通過3D打印實現出來。
另外一個例子，如果我們想設計超輕超硬材料，想讓材料儘量的輕，但是儘量的硬。怎麼做呢？在自然界中，金剛石它的晶體結構是最硬的，那我們就仿照金剛石的結構，做一個微元。然後把這個微元，平鋪到超輕材料的兔子內表面，那麼這個兔子的整個質量還是非常輕盈，但是硬度會超過所有的材料。
智慧材料的設計，需要我們把曲面平鋪到平面上，然後把平面的設計推廣到曲面上。這樣的過程也離不開剛才講到的大一統定理。
深度學習
閔科夫斯基問題和亞歷山大問題是兩個非常古老的定理，有上百年曆史。這兩個問題的描述是非常簡單的。比如說在三維空間中，我給了你一個凸曲面，這個凸曲面每個面的法向量給定，每個面的面積也是給定的。那麼閔科夫斯基問，你能不能把這個凸多面體給確定下來？他證明這個凸多面體是存在的並且是唯一的。亞歷山大，是這個問題的推廣。比如我們給了一個開放的凸多面體，每個面的法向量已知，投影面積已知。我們能不能把這個凸多面體求出來？
閔可夫斯基和亞曆山大問題▼
為了表達這個兩個問題，我們需要用到比較複雜的偏微分方程叫做蒙日-安培方程。這個方程有什麼用呢？它實際上是奠定了，統計深度學習的基礎。深度學習現在非常成功，但是處於誰也解釋不清楚的一個地位。那麼如何來打開，深度學習的黑箱是目前學術界最為關注的一個問題。
首先，深度學習究竟在學什麼？什麼是我們最終深度學習的目標？根據我們的觀點，所謂深度學習的目標，是流形上的概率分佈。怎麼講，比如說我們想學習所有的人臉圖片，把每張人臉圖片看成一個點，這個點的維數，等於它像素的數目，達到幾十萬維，非常高。但是在整個幾十萬維的圖像空間裡面，我們只考慮人臉的圖片，它構成一個點雲，這個點雲構成了一個維數非常低的彎曲的空間，是一個非常低維的流行。人臉圖片，在這個流行上分佈也不是均勻的，有些地方會稠密一些，有些地方會稀疏一些。那麼通過深度學習方法，我們把彎的流行打到隱空間，或者特徵空間裡面。然後，我們還要調整映射使得在隱空間中的概率分佈和原來流形上分佈比較一致。
比如我們這邊畫一個彌勒佛的曲面來代表這個流形，把它打到二維的隱空間上。攤平之後我們看，如果在流形上的分佈是均勻分佈，那麼在二維平面上也是均勻分佈。那麼就是說這個映射，第一它降維，第二它保持分佈不變。降維，有很多種方法，比如說Auto-Encoder（自動編碼器）。但是降下來之後，它概率分佈發生了變化。怎樣保持分佈不變呢？第一步，你需要找到一個變換，把標準的概率分佈比如說高斯分佈或者是均勻分佈變成數據分佈。第二步，需要解最優傳輸問題。最優傳輸問題的本質，就是剛才講的亞歷山大問題，是一個凸幾何問題。表面上看蒙日-安培方程和科夫斯基的問題和深度學習是風馬牛不相及的，但實際上這確實是用來解釋深度學習黑箱的一個最關鍵的一個鑰匙。當然這是特殊指的是統計深度學習。
人工智能有兩大流派，一個是聯結主義，一個是符號主義。符號主義代表作是吳文俊先生的吳方法，吳方法的本質是代數幾何，是代數幾何環的理想的生成理論，實際也是幾何。聯結主義對應統計學習，聯結主義中必然要用到最優傳輸，也是凸幾何理論。所以我們看人工智能，它的最後的理論根基還是歸結於幾何。
來看一個簡單的例子顯示計算效果。我們用很多人臉圖片，學習了人臉圖片的流形，在流形上均勻採樣。採樣的每一個採樣點就是一張三維的人臉，一張人臉圖片。流形中的任意一個曲線段就是一個變換過程，從一張臉漸變成另外一張臉。我們不知道這些人是不是存在過，也不知道他們未來是不是會存在，但是我們人眼分辨不出來這些人臉是真的還是假的。這個實驗用的還是剛才講的蒙日-安培方程和科夫斯基的問題。
非常古老的幾何問題，用來解釋了目前最為先進的計算機科學的領域和人工智能，並且為解決人工智能的黑箱奠定了很深的基礎。所以總結一下，微分幾何，還有共形幾何在計算機科學中很多方面的應用。我們可以非常信服地告訴大家，幾何的確是現代科技的一個非常深刻的基礎。
如果大家僅僅只想發表論文或者泛泛做一些研究，不需要去追求非常深刻的幾何。但是如果想做出具有原始的獨創性的問題，一定需要學習比較深刻的幾何。各位年輕人，希望大家為幾何的發展貢獻自己的精力，為祖國的科技發展貢獻自己的青春。
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致敬丘成桐先生
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“在過去二十多年中，在丘成桐先生嘔心瀝血的指導下，竭盡全力的共同創作下，我們團隊和眾多的數學家、計算機科學家、醫生和工程師們一同發展計算共形幾何，將丘先生領導的幾何分析學派發展的理論和方法應用於工程和醫療領域。這次科普中所有的理論和算法，都在丘先生的指導下完成，都飽浸著大家的心血。很多科技成果已經深入到社會實踐之中，真正轉化成了生產力。如視頻中展示的紋理貼圖技術，曲面參數化技術，被暴雪公司採納，並在其遊戲引擎中使用；虛擬腸鏡技術，被西門子公司採用，並在全世界推廣；虛擬演員技術，由Geometric Informatics（GI）公司開發應用，虛擬演員的視頻由GI劍橋團隊和好萊塢共同製作。”
--顧險峰
原標題：幾何為萬物賦能——建築、醫療、動漫、遊戲…… | 鳳凰衛視世紀大講堂
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