上次說到，在黑體問題的研究上，我們有了兩套公式。可惜，一套只能對長波範圍內有效
，而另一套只對短波有效。正當人們為這個Dilemma頭痛不已的時候，馬克斯?普朗克登上
了歷史舞臺。命中註定，這個名字將要光照整個20世紀的物理史。
普朗克（Max Carl Ernst Ludwig Planck）於1858年出生於德國基爾（Kiel）的一個書香
門第。他的祖父和曾祖父都是神學教授，他的父親則是一位著名的法學教授，曾經參予過
普魯士民法的起草工作。1867年，普朗克一家移居到慕尼黑，小普朗克便在那裡上了中學
和大學。在俾斯麥的帝國蒸蒸日上的時候，普朗克卻保留著古典時期的優良風格，對文學
和音樂非常感興趣，也表現出了非凡的天才來。
不過，很快他的興趣便轉到了自然方面。在中學的課堂裡，他的老師形象地給學生們講述
一位工人如何將磚頭搬上房頂，而工人花的力氣儲存在高處的勢能裡，一旦磚頭掉落下來
，能量便又隨之釋放出來……。能量這種神奇的轉換與守恆極大地吸引了好奇的普朗克，
使得他把目光投向了神秘的自然規律中去，這也成為了他一生事業的起點。德意志失去了
一位音樂家，但是失之東隅收之桑榆，她卻因此得到了一位開天闢地的科學巨匠。
不過，正如我們在前一章裡面所說過的那樣，當時的理論物理看起來可不是一個十分有前
途的工作。普朗克在大學裡的導師祖利（Philipp von Jolly）勸他說，物理的體系已經
建立得非常成熟和完整了，沒有什麼大的發現可以做出了，不必再花時間浪費在這個沒有
多大意義的工作上面。普朗克委婉地表示，他研究物理是出於對自然和理性的興趣，只是
想把現有的東西搞搞清楚罷了，並不奢望能夠做出什麼巨大的成就。諷刺地是，由今天看
來，這個“很沒出息”的表示卻成就了物理界最大的突破之一，成就了普朗克一生的名望
。我們實在應該為這一決定感到幸運。
1879年，普朗克拿到了慕尼黑大學的博士學位，隨後他便先後在基爾大學、慕尼黑大學和
柏林大學任教，並接替了基爾霍夫的職位。普朗克的研究興趣本來只是集中於經典熱力學
的領域，但是1896年，他讀到了維恩關於黑體輻射的論文，並對此表現出了極大的興趣。
在普朗克看來，維恩公式體現出來的這種物體的內在規律——和物體本身性質無關的絕對
規律——代表了某種客觀的永恆不變的東西。它獨立於人和物質世界而存在，不受外部世
界的影響，是科學追求的最崇高的目標。普朗克的這種偏愛正是經典物理學的一種傳統和
風格，對絕對嚴格規律的一種崇尚。這種古典而保守的思想經過了牛頓、拉普拉斯和麥克
斯韋，帶著黃金時代的全部貴族氣息，深深滲透在普朗克的骨子裡面。然而，這位可敬的
老派科學家卻沒有意識到，自己已經在不知不覺中走到了時代的最前沿，命運已經在冥冥
之中，給他安排了一個離經叛道的角色。
讓我們言歸正傳。在那個風雲變幻的世紀之交，普朗克決定徹底解決黑體輻射這個困擾人
們多時的問題。他的手上已經有了維恩公式，可惜這個公式只有在短波的範圍內才能正確
地預言實驗結果。另一方面，雖然普朗克自己聲稱，他當時不清楚瑞利公式，但他無疑也
知道，在長波範圍內，u和T成簡單正比關係這一事實。這是由他的一個好朋友，實驗物理
學家魯本斯（Heinrich Rubens，上一章提到過）在1900年的10月7號的中午告訴他的。到
那一天為止，普朗克在這個問題上已經花費了6年的時光（1894年，在他還沒有了解到維
恩的工作的時候，他就已經對這一領域開始了考察），但是所有的努力都似乎徒勞無功。
現在，請大家肅靜，讓我們的普朗克先生好好地思考問題。擺在他面前的全部事實，就是
我們有兩個公式，分別只在一個有限的範圍內起作用。但是，如果從根本上去追究那兩個
公式的推導，卻無法發現任何問題。而我們的目的，在於找出一個普遍適用的公式來。
10月的德國已經進入仲秋。天氣越來越陰沉，厚厚的雲彩堆積在天空中，黑夜一天比一天
來得漫長。落葉繽紛，鋪滿了街道和田野，偶爾吹過涼爽的風，便沙沙作響起來。白天的
柏林熱鬧而喧囂，入夜的柏林靜謐而莊重，但在這靜謐和喧囂中，卻不曾有人想到，一個
偉大的歷史時刻即將到來。
在柏林大學那間堆滿了草稿的辦公室裡，普朗克為了那兩個無法調和的公式而苦思冥想。
終於有一天，他決定，不再去做那些根本上的假定和推導，不管怎麼樣，我們先嚐試著湊
出一個可以滿足所有波段的公式出來。其他的問題，之後再說吧。
於是，利用數學上的內插法，普朗克開始玩弄起他手上的兩個公式來。要做的事情，是讓
維恩公式的影響在長波的範圍裡儘量消失，而在短波里“獨家”發揮出來。普朗克嘗試了
幾天，終於遇上了一個Bingo Moment，他湊出了一個公式，看上去似乎正符合要求。在長
波的時候，它表現得就像正比關係一樣。而在短波的時候，它則退化為維恩公式的原始形
式。
10月19號，普朗克在柏林德國物理學會（Deutschen Physikalischen Gesellschaft）的
會議上，把這個新鮮出爐的公式公諸於眾。當天晚上，魯本斯就仔細比較了這個公式與實
驗的結果。結果，讓他又驚又喜的是，普朗克的公式大獲全勝，在每一個波段裡，這個公
式給出的數據都十分精確地與實驗值相符合。第二天，魯本斯便把這個結果通知了普朗克
本人，在這個徹底的成功面前，普朗克自己都不由得一愣。他沒有想到，這個完全是僥倖
拼湊出來的經驗公式居然有著這樣強大的威力。
當然，他也想到，這說明公式的成功絕不僅僅是僥倖而已。這說明了，在那個神秘的公式
背後，必定隱藏著一些不為人們所知的秘密。必定有某種普適的原則假定支持著這個公式
，這才使得它展現出無比強大的力量來。
普朗克再一次地注視他的公式，它究竟代表了一個什麼樣的物理意義呢？他發現自己處在
一個相當尷尬的地位，知其然，但不知其所以然。普朗克就像一個倒黴的考生，事先瞥了
一眼參考書，但是答辯的時候卻發現自己只記得那個結論，而完全不知道如何去證明和闡
述它。實驗的結果是確鑿的，它毫不含糊地證明了理論的正確性，但是這個理論究竟為什
麼正確，它建立在什麼樣的基礎上，它究竟說明了什麼？卻沒有一個人可以回答。
然而，普朗克卻知道，這裡面隱藏的是一個至關重要的東西，它關係到整個熱力學和電磁
學的基礎。普朗克已經模糊地意識到，似乎有一場風暴即將襲來，對於這個不起眼的公式
的剖析，將改變物理學的一些面貌。一絲第六感告訴他，他生命中最重要的一段時期已經
到來了。
多年以後，普朗克在給人的信中說：
“當時，我已經為輻射和物質的問題而奮鬥了6年，但一無所獲。但我知道，這個問題對
於整個物理學至關重要，我也已經找到了確定能量分佈的那個公式。所以，不論付出什麼
代價，我必須找到它在理論上的解釋。而我非常清楚，經典物理學是無法解決這個問題的
……”
（Letter to R. W. Wood, 1931）
在人生的分水嶺上，普朗克終於決定拿出他最大的決心和勇氣，來打開面前的這個潘多拉
盒子，無論那裡面裝的是什麼。為了解開這個謎團，普朗克頗有一種破釜沉舟的氣概。除
了熱力學的兩個定律他認為不可動搖之外，甚至整個宇宙，他都做好了拋棄的準備。不過
，饒是如此，當他終於理解了公式背後所包含的意義之後，他還是驚訝到不敢相信和接受
所發現的一切。普朗克當時做夢也沒有想到，他的工作絕不僅僅是改變物理學的一些面貌
而已。事實上，整個物理學和化學都將被徹底摧毀和重建，一個新的時代即將到來。
1900年的最後幾個月，黑體這朵飄在物理天空中的烏雲，內部開始翻滾動盪起來。
*********
飯後閒話：世界科學中心
在我們的史話裡，我們已經看見了許許多多的科學偉人，從中我們也可以清晰地看見世界
性科學中心的不斷遷移。
現代科學創立之初，也就是17，18世紀的時候，英國是毫無爭議的世界科學中心（以前是
意大利）。牛頓作為一代科學家的代表自不用說，波義耳、胡克、一直到後來的戴維、卡
文迪許、道爾頓、法拉第、托馬斯楊，都是世界首屈一指的大科學家。但是很快，這一中
心轉到了法國。法國的崛起由伯努利（Daniel Bernoulli）、達朗貝爾（J.R.d'Alembert
）、拉瓦錫、拉馬克等開始，到了安培（Andre Marie Ampere）、菲涅爾、卡諾
（Nicolas Carnot)、拉普拉斯、傅科、泊松、拉格朗日的時代，已經在歐洲獨領風騷。
不過進入19世紀的後半，德國開始迎頭趕上，湧現出了一大批天才，高斯、歐姆、洪堡、
沃勒（Friedrich Wohler)、赫爾姆霍茲、克勞修斯、玻爾茲曼、赫茲……雖然英國連出
了法拉第、麥克斯韋、達爾文這樣的偉人，也不足以搶回它當初的地位。到了20世紀初，
德國在科學方面的成就到達了最高峰，成為了世界各地科學家心目中的聖地，柏林、慕尼
黑和哥廷根成為了當時自然科學當之無愧的世界性中心。我們在以後的史話裡，將會看到
越來越多德國人的名字。不幸的是，納粹上臺之後，德國的科技地位一落千丈，大批科學
家出逃外國，直接造成了美國的崛起，直到今日。
只不知，下一個霸主又會是誰呢？
四
上次說到，普朗克在研究黑體的時候，偶爾發現了一個普適公式，但是，他卻不知道這個
公式背後的物理意義。
為了能夠解釋他的新公式，普朗克已經決定拋卻他心中的一切傳統成見。他反覆地咀嚼新
公式的含義，體會它和原來那兩個公式的聯繫以及不同。我們已經看到了，如果從玻爾茲
曼運動粒子的角度來推導輻射定律，就得到維恩的形式，要是從純麥克斯韋電磁輻射的角
度來推導，就得到瑞利-金斯的形式。那麼，新的公式，它究竟是建立在粒子的角度上，
還是建立在波的角度上呢？
作為一個傳統的保守的物理學家，普朗克總是儘可能試圖在理論內部解決問題，而不是顛
覆這個理論以求得突破。更何況，他面對的還是有史以來最偉大的麥克斯韋電磁理論。但
是，在種種嘗試都失敗了以後，普朗克發現，他必須接受他一直不喜歡的統計力學立場，
從玻爾茲曼的角度來看問題，把熵和幾率引入到這個系統裡來。
那段日子，是普朗克一生中最忙碌，卻又最光輝的日子。20年後，1920年，他在諾貝爾得
獎演說中這樣回憶道：
“……經過一生中最緊張的幾個禮拜的工作，我終於看見了黎明的曙光。一個完全意想不
到的景象在我面前呈現出來。”（…until after some weeks of the most intense
work of my life clearness began to dawn upon me, and an unexpected view
revealed itself in the distance）
什麼是“完全意想不到的景象”呢？原來普朗克發現，僅僅引入分子運動理論還是不夠的
，在處理熵和幾率的關係時，如果要使得我們的新方程成立，就必須做一個假定，假設能
量在發射和吸收的時候，不是連續不斷，而是分成一份一份的。
為了引起各位聽眾足夠的注意力，我想我應該把上面這段話重複再寫一遍。事實上我很想
用初號的黑體字來寫這段話，但可惜論壇不給我這個功能。
“必須假定，能量在發射和吸收的時候，不是連續不斷，而是分成一份一份的。”
在瞭解它的具體意義之前，不妨先了解一個事實：正是這個假定，推翻了自牛頓以來200
多年，曾經被認為是堅固不可摧毀的經典世界。這個假定以及它所衍生出的意義，徹底改
變了自古以來人們對世界的最根本的認識。極盛一時的帝國，在這句話面前轟然土崩瓦解
，倒坍之快之徹底，就像愛倫?坡筆下厄舍家那間不祥的莊園。
好，回到我們的故事中來。能量不是連續不斷的，這有什麼了不起呢？
很了不起。因為它和有史以來一切物理學家的觀念截然相反（可能某些偽科學家除外，呵
呵）。自從伽利略和牛頓用數學規則馴服了大自然之後，一切自然的過程就都被當成是連
續不間斷的。如果你的中學物理老師告訴你，一輛小車沿直線從A點行駛到B點，卻不經過
兩點中間的C點，你一定會覺得不可思議，甚至開始懷疑該教師是不是和校長有什麼裙帶
關係。自然的連續性是如此地不容置疑，以致幾乎很少有人會去懷疑這一點。當預報說氣
溫將從20度上升到30度，你會毫不猶豫地判定，在這個過程中間氣溫將在某個時刻到達25
度，到達28度，到達29又1/2度，到達29又3/4度，到達29又9/10度……總之，一切在20度
到30度之間的值，無論有理的還是無理的，只要它在那段區間內，氣溫肯定會在某個時刻
，精確地等於那個值。
對於能量來說，也是這樣。當我們說，這個化學反應總共釋放出了100焦耳的能量的時候
，我們每個人都會潛意識地推斷出，在反應期間，曾經有某個時刻，總體系釋放的能量等
於50焦耳，等於32.233焦耳，等於3.14159……焦耳。總之，能量的釋放是連續的，它總
可以在某個時刻達到範圍內的任何可能的值。這個觀念是如此直接地植入我們的內心深處
，顯得天經地義一般。
這種連續性，平滑性的假設，是微積分的根本基礎。牛頓、麥克斯韋那龐大的體系，便建
築在這個地基之上，度過了百年的風雨。當物理遇到困難的時候，人們縱有懷疑的目光，
也最多盯著那巍巍大廈，追問它是不是在建築結構上有問題，卻從未有絲毫懷疑它腳下的
土地是否堅實。而現在，普朗克的假設引發了一場大地震，物理學所賴以建立的根本基礎
開始動搖了。
普朗克的方程倔強地要求，能量必須只有有限個可能態，它不能是無限連續的。在發射的
時候，它必須分成有限的一份份，必須有個最小的單位。這就像一個吝嗇鬼無比心痛地付
帳，雖然他儘可能地試圖一次少付點錢，但無論如何，他每次最少也得付上1個penny，因
為沒有比這個更加小的單位了。這個付錢的過程，就是一個不連續的過程。我們無法找到
任何時刻，使得付帳者正好處於付了1.00001元這個狀態，因為最小的單位就是0.01元，
付的帳只能這樣“一份一份”地發出。我們可以找到他付了1元的時候，也可以找到他付
了1.01元的時候，但在這兩個狀態中間，不存在別的狀態，雖然從理論上說，1元和1.01
元之間，還存在著無限多個數字。
普朗克發現，能量的傳輸也必須遵照這種貨幣式的方法，一次至少要傳輸一個確定的量，
而不可以無限地細分下去。能量的傳輸，也必須有一個最小的基本單位。能量只能以這個
單位為基礎一份份地發出，而不能出現半個單位或者四分之一單位這種情況。在兩個單位
之間，是能量的禁區，我們永遠也不會發現，能量的計量會出現小數點以後的數字。
1900年12月14日，人們還在忙活著準備歡度聖誕節。這一天，普朗克在德國物理學會上發
表了他的大膽假設。他宣讀了那篇名留青史的《黑體光譜中的能量分佈》的論文，其中改
變歷史的是這段話：
為了找出N個振子具有總能量Un的可能性，我們必須假設Un是不可連續分割的，它只能是
一些相同部件的有限總和……
（die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die N Resonatoren ingesamt
Schwingungsenergie Un besitzen, Un nicht als eine unbeschr?nkt teilbare,
sondern al seine ganzen Zahl von endlichen gleichen Teilen aufzufassen…）
這個基本部件，普朗克把它稱作“能量子”（Energieelement），但隨後很快，在另一篇
論文裡，他就改稱為“量子”（Elementarquantum），英語就是quantum。這個字來自拉
丁文quantus，本來的意思就是“多少”，“量”。量子就是能量的最小單位，就是能量
裡的一美分。一切能量的傳輸，都只能以這個量為單位來進行，它可以傳輸一個量子，兩
個量子，任意整數個量子，但卻不能傳輸1又1/2個量子，那個狀態是不允許的，就像你不
能用現錢支付1又1/2美分一樣。
那麼，這個最小單位究竟是多少呢？從普朗克的方程裡可以容易地推算出這個常數的大小
，它約等於6.55×10^-27爾格*秒，換算成焦耳，就是6.626×10^-34焦耳*秒。這個單位
相當地小，也就是說量子非常地小，非常精細。因此由它們組成的能量自然也十分“細密
”，以至於我們通常看起來，它就好像是連續的一樣。這個值，現在已經成為了自然科學
中最為重要的常數之一，以它的發現者命名，稱為“普朗克常數”，用h來表示。
請記住1900年12月14日這個日子，這一天就是量子力學的誕辰。量子的幽靈從普朗克的方
程中脫胎出來，開始在歐洲上空遊蕩。幾年以後，它將爆發出令人咋舌的力量，把一切舊
的體系徹底打破，並與聯合起來的保守派們進行一場驚天動地的決鬥。我們將在以後的章
節裡看到，這個幽靈是如此地具有革命性和毀壞性，以致於它所過之處，最富麗堂皇的宮
殿都在瞬間變成了斷瓦殘垣。物理學構築起來的精密體系被毫不留情地砸成廢鐵，千百年
來亙古不變的公理被扔進垃圾箱中不得翻身。它所帶來的震撼力和衝擊力是如此地大，以
致於後來它的那些偉大的開創者們都驚嚇不已，紛紛站到了它的對立面。當然，它也決不
僅僅是一個破壞者，它更是一個前所未有的建設者，科學史上最傑出的天才們參予了它成
長中的每一步，賦予了它華麗的性格和無可比擬的力量。人類理性最偉大的構建終將在它
的手中誕生。
一場前所未有的革命已經到來，一場最為反叛和徹底的革命，也是最具有傳奇和史詩色彩
的革命。暴風雨的種子已經在烏雲的中心釀成，只等適合的時候，便要催動起史無前例的
雷電和風暴，向世人昭示它的存在。而這一切，都是從那個叫做馬克斯?普朗克的男人那
裡開始的。
*********
飯後閒話：連續性和悖論
古希臘有個學派叫做愛利亞派，其創建人名叫巴門尼德（Parmenides）。這位哲人對運動
充滿了好奇，但在他看來，運動是一種自相矛盾的行為，它不可能是真實的，而一定是一
個假相。為什麼呢？因為巴門尼德認為世界上只有一個唯一的“存在”，既然是唯一的存
在，它就不可能有運動。因為除了“存在”就是“非存在”，“存在”怎麼可能移動到“
非存在”裡面去呢？所以他認為“存在”是絕對靜止的，而運動是荒謬的，我們所理解的
運動只是假相而已。
巴門尼德有個學生，就是大名鼎鼎的芝諾（Zeno）。他為了為他的老師辯護，證明運動是
不可能的，編了好幾個著名的悖論來說明運動的荒謬性。我們在這裡談談最有名的一個，
也就是“阿喀琉斯追龜辯”，這裡面便牽涉到時間和空間的連續性問題。
阿喀琉斯是史詩《伊利亞特》裡的希臘大英雄。有一天他碰到一隻烏龜，烏龜嘲笑他說：
“別人都說你厲害，但我看你如果跟我賽跑，還追不上我。”
阿喀琉斯大笑說：“這怎麼可能。我就算跑得再慢，速度也有你的10倍，哪會追不上你？
”
烏龜說：“好，那我們假設一下。你離我有100米，你的速度是我的10倍。現在你來追我
了，但當你跑到我現在這個位置，也就是跑了100米的時候，我也已經又向前跑了10米。
當你再追到這個位置的時候，我又向前跑了1米，你再追1米，我又跑了1/10米……總之，
你只能無限地接近我，但你永遠也不能追上我。”
阿喀琉斯怎麼聽怎麼有道理，一時丈二和尚摸不著頭腦。
這個故事便是有著世界性聲名的“芝諾悖論”（之一），哲學家們曾經從各種角度多方面
地闡述過這個命題。這個命題令人困擾的地方，就在於它採用了一種無限分割空間的辦法
，使得我們無法跳過這個無限去談問題。雖然從數學上，我們可以知道無限次相加可以限
制在有限的值裡面，但是數學從本質上只能告訴我們怎麼做，而不能告訴我們能不能做到
。
但是，自從量子革命以來，學者們越來越多地認識到，空間不一定能夠這樣無限分割下去
。量子效應使得空間和時間的連續性喪失了，芝諾所連續無限次分割的假設並不能夠成立
。這樣一來，芝諾悖論便不攻自破了。量子論告訴我們，“無限分割”的概念是一種數學
上的理想，而不可能在現實中實現。一切都是不連續的，連續性的美好藍圖，其實不過是
我們的一種想象。
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