基本图形分析法：帮你分析角平分线和垂线的组合图形（二）

【分析方法导引】

当几何问题中，出现了角平分线和向角平分线所作的垂线的时候，就要想到可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。

若角平分线的垂线没有过角的顶点时，可直接将角平分线的垂线延长到与角的两边相交，构成等腰三角形中重要线段的基本图形，然后再应用一次轴对称型全等三角形来完成分析。

若角平分线的垂线经过角的顶点时，则应将角平分线的垂线平行移动，使它离开角的顶点，然后再与角的两边相交构成等腰三角形中的重要线段的基本图形。

例3 如图3-119，已知：BD、CE是△ABC的∠B、∠C的外角平分线，AF⊥BD、AG⊥CE，F、G是垂足。求证：（1）FG∥BC （2）FG=1/2△ABC的周长。

图3-119

分析：本题的条件中出现了BD、CE是∠B、∠C的外角平分线和AF、AG是向角平分线所作的垂线，就构成了角平分线和向角平分线所作的垂线之间的组合关系，所以一定出现一个等腰三角形的基本图形。由于这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的，而现在图形中的这两条垂线都还没有和角的第二条边相交，所以应将它们延长到相交，即延长AF交CB的延长线于K，可得△ABF≌△KBF，BA=BK和FA=FK。根据同样的道理延长AG交BC的延长线于H，可得△ACG≌△HCG，CA=CH和GA=GH（如图3-120）。这样又出现了F、G分别是AK、AH的中点，是多个中点问题，所以可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明。于是即可推得FG∥BC，FG=1/2KH=1/2（KB+BC+CH）=1/2（AB+BC+AC），分析即可完成。

图3-120

例4 如图3-121，已知：△ABC中，BE、BF分别是∠B和∠B的外角的角平分线，AG⊥BF，AH⊥BE，垂足分别是G、H，过G、H的直线分别交AB、AC于M、N。求证：（1）四边形AGBH是矩形 （2）MN=1/2BC

图3-121

分析：本题条件中出现了BE、BF分别是∠B和∠B的外角的角平分线，所以必定有BE⊥BF，∠EBF=90°，又因为条件给出了AG⊥BG、AH⊥BH，∠AGB=∠AHB=90°，这样在四边形AGBH中就出现了三个内角都是直角，所以这个四边形必定是矩形，且可进一步得到AM=BM或M是AB的中点。

又因为BE是角平分线，且AH⊥BE是向角平分线所作的垂线，所以就构成了角平分线和向角平分线所作垂线的组合关系，这样也就一定能得到一个等腰三角形的基本图形，由于这个等腰三角形应是角平分线的垂线和角的两边相交得到的，所以应将AH延长到与角的另一边BC相交，于是延长AH交BC于K，即可得△ABH≌△KBH，AH=KH，H是AK的中点，这样又出现了两个中点，是多个中点问题，且M、H所在的线段AB、AK有公共端点A，可以组成三角形，所以应用三角形中位线定理就可得MH∥BK，亦即MN∥BC，从而就可进一步推得AN=CN，MN=1/2BC（如图3-122）。

图3-122

本题在证明了四边形AGBH是矩形以后，也可以连续两次考虑角平分线和向角平分线所作的垂线之间的组合关系以及由此而得到的等腰三角形，从而就应延长AG、AH分别交CB的延长线和BC于L、K（如图3-122），并得到AG=LG，AH=KH，那么接下来再应用三角形的中位线定理及其逆定理，也就可以证得MN=1/2BC。

本题在证明了四边形AGBH是矩形以后，应用矩形的性质即可得M是AB的中点，这样要证明MN=1/2BC，就可以转化成要证MN∥BC，而已知BE是∠ABC的角平分线，从而就出现了一次角平分线和平行线的组合关系，也就必定得到一个等腰三角形的基本图形，由于MN是角的一边BC的平行线，所以它应和角的另一边BA以及角平分线BE相交构成等腰三角形，从而就可找到这个三角形应是△MBH（如图3-123），显然应用矩形的性质即可得到MB=MH，∠MBH=∠MHB，而已知∠MBH=∠HBC，所以∠MHB=∠HBC和MN∥BC都可以证明，分析也就可以完成。

图3-123