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三階魔方

首先要知道魔方是由厄爾諾·魯比克在1974年發明的，又以魯比克來命名魔方，叫魯比克魔方（英文名Rubik's Cube）。魔方的所有變化數量43，252，003，274，489，856，000種。如果你一秒可以轉3下魔方，不計重複，你也需要轉4542億年，才可以轉出魔方所有的變化，這個數字是目前估算宇宙年齡的大約30倍（魔方只有26個塊）。而每個形態對應的公式，公式後又出現的形態，真的是千變萬化。三階魔方基本有無數種還原方法。而事實上上帝之數20步就能還原魔方。

魔方結枸

魔方有6種色6個面，國際定色：白色為底公式D，黃色為頂公式U，藍色在前公式F，綠色在後公式B，橙色在左公式L，紅色在右公式R。魔方又分為6箇中心塊（每面最中間的塊），8個角塊和12個稜塊組成。中心塊是固定的結構，靠轉動角塊和稜塊復原魔方。

還原魔方的幾種解法

魔方還原的解法有很多種，常用的有層先法、高級玩法、稜先法、角先法和橋式解法等等。

1、層先法思：①先做好底部十字，②底層角塊歸位，③第二層稜塊歸位，④做頂成十字，⑤還原頂成顏色，⑥頂層稜塊歸位，⑦頂層角塊歸位。完成復原！

2、高級玩法：①做好底部十家，②還原前兩層，③還原頂層顏色，④頂層角塊、稜塊一次歸位。完成復原！

3、稜先法思路：①底稜歸位（等同層先法十字），②邊稜歸位，③轉八角。完成復原！

4、橋式解法思路：①做好左右橋，②頂角還原，③調整顏色朝向，④6稜歸位。完成復原！

魔方轉動記號

不管轉動任何一個面，有2就轉動兩下，沒有就轉一下。如果沒有帶“丶”記號的就是正轉，可了理解為順時針轉動或者擰緊瓶蓋，擰緊螺絲等。帶“丶”記號的則反之。

一杯不醉

（小石頭，站在偏數學的角度，來回答這個問題。簡單一句話，魔方的原理就是：魔方群在狀態集上的作用，具體回答如下：）

魔方群

整體來看，魔方（Rubik's cube）是一個立方體，一共有六個面 （surface），我們分別用 U（up 上）、D（down 下）、F （front 前）、B（back 後）、L（left 左）、R（right 右）來標識，不妨規定：U 對應 黃（yellow）、D 對應 白（white）、F 對應 藍（blue）、B 對應 綠（green）、L 對應 橙（orange）、R 對應 紅（red）。

令，M = {U, D, F, B, L, R}，當 任意麵 f ∈ M 朝向我們時，對 f 面 順時針 旋轉 90°， 被定義為 魔方的 基本操作（base operation），同樣用 f 面 的 面標識 來表示 這種基本操作。所以 M 也代表 魔方的全部基本操作。

對於，任意 基本操作 g, h ∈ M，gh 稱為 g 和 h 的 複合（compose）， 表示 先 g 操作 再 h 操作 的複合操作。可以驗證，複合滿足結合律， 這樣以來，以 M 為生成元 在複合操作下會生成一個群 G = (M)，稱為 魔方群（Rubik‘s cube group)。其中，G 的 么元，記為 1， 表示 沒有進行任何操作的操作。

什麼是群？

群就是定義了一種運算 的集合 ，其 滿足：

• 集合對運算封閉，即，對於任意 都有 ( 注意：和乘法運算類似，習慣省略不寫 ) ；

• 運算有分配律，即， 對於任意 都有 ；

• 有么元，即，存在 使得 對於 任意 都有 ；

• 有逆元，即，對於任意 都存在 的逆元 使得 。

什麼是 M 生成的群？

數學上定義：包括 M 中元素的 最小的群，為M生成的群，記為 (M)。實際上，可以 對 M 中任意操作 g 和 h 不斷的 進行 複合運算，如果得到的新複合操作 gh 不在 M 中，就 gh 添加到 M 裡，直到 M 不再增加，這樣就得到了 (M)。

同一基本操作 g， 連續四次 複合 就是 對 g 面 順時針 旋轉 360°，這相當於 沒有操作，即，

gggg = 1

從而有：

gg³ = 1

也就是說 g³ 就是 g 的逆元 g⁻¹ ，相當於 對 g 面 逆時針 旋轉 90°。

另外，由 gggg = 1 還可以得到：

g²g² = 1

這說明 連續兩次 複合 g² 的逆元 就是自己，即，順時針 旋轉 180° 相當於 逆時針 旋轉 180° 。

魔方狀態

三階魔方被細分為 3 × 3 × 3 = 27 個 立方小塊（cubie）。其中，位於 中間核心的 那個 小塊 不會受到 魔方操作 的影響到，而對於 每個 面中心的 那個 小塊 魔方操作 同樣無法改變它的位置，因此 魔方操作 所能 影響到的 小塊 為 27 - (1 + 6) = 20 個。

這 20 個 受 魔方操作 作用的 小塊，又分為 兩類：

• 位於魔方 8 個角 處的 角（corner）塊，它們有3個有效 小面（facet）；

• 位於魔方 12 個稜 處的 稜（edge）塊，它們有2個有效 小面；

由於，每個面的 中心塊 保持位置不變，因此對於打亂的魔方，可以依照 中心塊 來 確定 魔方的各個面 方向。魔方在初始（或 還原）狀態下，角塊 和 稜塊 的每個 小面 和 該小面 所在面 的 中心小塊 顏色保持一致。

我們用 角塊（或 稜塊） 的各小面 顏色所對應的 標識 的小寫字母 的組合來標識 角塊（或 稜塊）：

• 對於 角塊，三個小面 x, y, z，有 6 種排列方式，這裡 使用 從 u 或 d 開始 的 順時針 排列方式，即，角塊標識 xyz 保證 x = u/d 並且 x →y → z 是順時針；

• 對於 稜塊，二個小面 x, y, 有 2 種 排列方式，這裡 使用 從 u 或 d（f 或 b） 開始 的 排列方式，即，稜塊標識 xy 保證 x = u/d/f/b；

根據上面的規則，八個角塊分別表示為：ufl, urf, ubr, ulb; dbl, dlf, dfr, drb; 十二個稜塊分別表示為：ub, ur, uf, ul; bl, br, fr, fl; db, dr, df, dl

注意：六個中心塊 分別表示為：u, d, f, b, l, r，核心塊 一般用 o 表示 。

更進一步，對於角塊 xyz，我們用 xyz 表示 x 小面，yzx 表示 y 小面，zxy 表示 z 小面，對於稜塊 xy ，我們用 xy 表示 x 小面，用 yx 表示 y 小面，於是，我們就得到了 帶有標註 的 8 × 3 + 12 × 2 = 48 個 小面。將，全體小面記為 T，則 任意 操作 g ∈ G 就變成了 T 上的 一種 置換（位置變換）。以 F 操作 為例，

觀察發現， 小面 fur 經過 F 操作 置換 為 小面 flu，即，F(fur) = flu，另有 F(flu) = fdl、F(fdl) = frd、F(frd) = flu，於是 在 F 操作下，以上 4 個置換 形成了 一個 置換圈：

我們稱其為 輪換（cycle），記為 (fur flu fdl frd) 。

參與輪換的 小面 可以是任意多個，值得注意的是：任何一個小面 a 的 輪換 (a) 相當於 不做 置換，有, 1 = () = (a) 。

當然，實際上 F 操作 包含 多個 輪換，將這些輪換 以複合的方式，聚合在一起，就是定義了一個 完整 F 操作：

F = (fur flu fdl frd) (fu fl fd fr)(rfu ufl lfd dfr)(rf uf lf df)(rdf urf luf dlf)

同理，我們可以將 其它魔方操作 定義為 輪換 的複合。

注意：為了方便，我們也可以用 1- 48 的 正整數，來替代 上面 S 中 對小面 的編碼。

T 上的所有 置換函數，在函數複合下，組成 置換群 S₄₈。但是，因為 角塊的面永遠置換不到稜塊的面，所以 G 僅僅是 S₄₈ 的子群。

用離散的小面來記錄魔方的狀態過於粗獷，重新審視魔方，我們會得到如下結果：

• 每個立方塊都是一個整體，在任何魔方的操作下，組成它的小面不會分離；

• 每個立方塊，有兩種狀態信息：位置 和 方向；

• 角塊 和 稜塊 在 魔法操作下 相互獨立，即，角塊 永遠不可能 轉到 稜塊 上，反之亦然。

基於，以上分析，我們首先， 分別 對 角塊 和 稜塊 進行定位（location）：

• 角塊：ufl = 1, urf = 2, ubr = 3, ulb = 4; dbl = 5, dlf = 6, dfr = 7, drb = 8;

• 稜塊：ub = 1, ur = 2, uf = 3, ul = 4; bl = 5, br = 6, fr = 7, fl = 8; db = 9, dr = 10, df = 11, dl = 12;

令 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}， 這裡包含 所有 角塊的位置信息，可以很容易將 基本操作 對 角塊位置的 改變寫成輪換形式：

U = (1 2 3 4),

D = (5 8 7 6),

F = (1 6 7 2),

B = (3 8 5 4),

L = (1 4 5 6),

R = (2 7 8 3)

顯然，G 作用在 C 上 是 置換群 S₈ 的子群。

同理，令 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，基本操作對於 稜塊 位置的改變寫成輪換形式為：

U = (1 4 3 2),

D = (9 10 11 12),

F = (3 8 11 7),

B = (1 6 9 5),

L = (4 5 12 8),

R = (2 7 10 6)

同樣，G 作用在 E 上 是 置換群 S₁₂ 的子群。

然後，我們分別對 角塊 和 稜塊 進行定向（orientation）：

• 角塊：u/d 為定向面，xyz = 012；

• 稜塊：u/d/f/b 為定向面，xy = 01；

對於保持 定向 信息，我們只需要定義，定位位置 當前 立方塊 的 定向面 對應 的 編號就可以了。而對於 基本操作，對 定向的 改變，我們也只需要 記錄，原始狀態下，經過 基本操作後，各個 定位位置，的 定向面 對應 的 編號就可以了。如果，原始狀態下，即， 定向面的編號為 0，經過某操作，到新位置後，定向面編號為 n，則 原來 定向面的編號為 m，經同樣操作，到新位置後，定向面編號就是 (n + m) mod k，對於角塊 k = 3，對於 稜塊 k = 2。0- 不旋轉，1-逆時針旋轉，2-順時針旋轉。

令，V = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 表示 角塊的所有定向，則 基本操作為對角塊定向的改變為：

U = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

D = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

F = (1, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 0),

B = (0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2),

L = (2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0),

R = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1)

對於每一位來說都是 Z₃ ，總共 8 個 Z₃ 就是 Z₃⁸ ，但是 考慮 在 到 7 個 角塊固定的情況下，我們無法 單獨 旋轉 剩下的那個，因此 G 在 V 上的作用 實際上 是 Z₃⁷。

令，W = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 表示 稜塊的所有定向，則 基本操作為對稜塊定向的改變為：

U = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

D = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

F = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0),

B = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0),

L = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

R = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

同理， G 在 W 上的作用 是 Z₂¹¹。

當以上編號混合在一起使用時，為了區分，分別用 c、e、v、w 作為 角塊定位、稜塊定位、角塊定向、稜塊定向 編號的前綴，並將編號寫成下標。例如：

F = (c₁ c₆ c₇ c₂) (e₃ e₈ e₁₁ e₇) (v₁, v₂, v₀, v₀, v₀, v₂, v₁, v₀) (w₀, w₀, w₁, w₀, w₀, w₀, w₁, w₁, w₀, w₀, w₁, w₀)

輔助工具

在進行下一步分析之前，我們先編寫一點 JavaScript 代碼，以幫助我們，對 G 中的 操作進行復合。

魔方狀態（state）的 格式為：

state：[[角塊定位], [稜塊定位], [角塊定向], 稜塊定向]

魔方操作（operation）的 格式為：

[[[角塊輪換], ...], [[稜塊輪換], ...], [角塊旋轉], [稜塊旋轉]]

聲明，在給定狀態上執行魔方操作的函數：

聲明，從給定狀態中分析出魔方操作的函數：

定義 複合 函數：

為了輸出簡潔，當所有角塊（或，稜塊）不發生旋轉 時，用一對空括號表示。

最後，我們對基本操作進行必要的擴展：

換位子 和 共軛

對於 任意兩個 魔方操作 g,h ∈ G，如果，g 和 h 的複合 滿足交換律，則：

gh = hg

等式兩邊右乘 g⁻¹h⁻¹，有：

ghg⁻¹h⁻¹ = hgg⁻¹h⁻¹ = h1h⁻¹ = hh⁻¹ = 1

如果 不滿足交換律，則：

ghg⁻¹h⁻¹ ≠ 1

令，[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹，稱其為 換位子（commutator）。

一般來說，魔方相對面 ，如： F 和 B，U 和 D，L 和 R 之間是可以交換的，即，

[F, B] = [U, D] = [L, R] = 1

所有，換位子 之間是可以交換的，即：

[[g₁, h₁] [g₂, h₂]] = 1

關於，換位子有 性質1：如果 g 和 h 兩種操作，只 共同影響 一個 小塊 k，其中 g 為 n → k，h 為 m → k，則有 [g, h] = (k, n, m)，[h, g] = (k, m, n)。

例如，若 g = (c₁ c₂ c₃), h = (c₁, c₄ c₅)，則 k = c₁, n = c₂, m = c₄，於是有：

即，[g, h] = (c₁ c₂ c₄)，[h, g] = (c₁ c₄ c₂)。

性質1推論：如果 g 和 h 兩種操作，共同影響 的小塊，剛好 在 g 和 h 中 分別 形成 輪換 σ 和 τ，則有 [g, h] = [σ, τ]。

例如：若 g = (c₁ c₂ c₃ c₄)(c₅ c₆), h = (c₁ c₂ c₄ c₃)(c₇ c₈)，則 它們的共同影響小塊 c₁、c₂、c₃、c₄，分別 在 g 和 h 中，組成輪轉 (c₁ c₂ c₃ c₄) 和 (c₁ c₂ c₄ c₃)，於是有：

即，[g, h] = [(c₁ c₂ c₃ c₄), (c₁ c₂ c₄ c₃)]。

魔方群中還有另外一種 稱為 共軛

共軛具有 性質2：如果 h = (a b c) 而 g 將 A, B, C 分別映射到 a, b, c，則有 ghg⁻¹ = (A B C)。

例如：若 h = (c₁ c₂ c₃), g = (c₁ c₄)(c₂ c₅)(c₃ c₆)，則有：

即，ghg⁻¹ = (c₄ c₅ c₆)。

魔方公式

好了！現在利用上面的知識，就可以開始構造魔方公式了。

尋找角塊的換位公式

我們發現 B⁻¹ 關於 R⁻¹ 的 共軛 R⁻¹B⁻¹(R⁻¹)⁻¹ = R⁻¹B⁻¹R：

和 F²：

僅有 c₇ 共同影響，於是它們滿足 性質1，有：

即，[R⁻¹B⁻¹R, F²] = R⁻¹B⁻¹R F² (R⁻¹B⁻¹R)⁻¹ (F²)⁻¹ = R⁻¹B⁻¹R F² R⁻¹B⁻¹R F² = (c1, c7, c8)。

注意：因為 (ab)(b⁻¹a⁻¹) = abb⁻¹a⁻¹ = a1a⁻¹ = aa⁻¹ = 1，所以 (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹。

這裡 c₁, c₇, c₈ 不共面，考慮 R² :

剛好 將 1 ↦ 1, 2 ↦ 8, 3 ↦ 7，於是根據 性質2，有：

開頭的 RR RRR = R ，於是最終得到 公式C：

即，

R²[R⁻¹B⁻¹R, F²]R⁻² = RB⁻¹RF²R⁻¹BRF²R² = (c₁ c₂ c₃)

尋找稜塊的換位公式

我們定義一種新的操作 M：面對 F 面，順指針旋轉 F 和 B 面之間那個中間的面M。M 操作 只改變稜塊：

我們發現 M⁻¹（或 M）與 U²：

共同影響 e₄，因此 根據性質1，[M⁻¹, U²] 構成三輪換：

即，[M⁻¹, U²] = M⁻¹U²MU² = (e₂ e₄ e₁₀)。

其實，M⁻¹ 就相當於 FB⁻¹ 的複合，只不過，在執行 M⁻¹ 後，還做了 R 面朝向了 U 的動作。

這時 執行 U² 相當於 執行 R²，於是翻譯為 基本操作 [M⁻¹, U²] = FB⁻¹R²BF⁻¹U²，驗證：

最後， 根據 性質2，利用 R²U 將 這個 三輪換，換到同一個面上：

倒數第2， 3 項合併後，就得到了 公式D：

R²U[M⁻¹, U²]U⁻¹R² = R²UFB⁻¹R²BF⁻¹UR² = (e₁ e₃ e₂)

尋找角塊的旋轉公式

觀察 D² 關於 RF⁻¹ 的共軛 RF⁻¹D²FR⁻¹：

與 U²：

它們，有共同的輪轉 (c₁ c₃)，於是根據 性質1推論，有：

[U², RF⁻¹D²FR⁻¹] = [(c₁ c₃), (c₁ c₃)] = (c₁ c₃)(c₁ c₃)(c₃ c₁)(c₃ c₁) = (c₁ c₃)1(c₃ c₁) = (c₁ c₃)(c₃ c₁) = 1

這樣以來，[U², RF⁻¹D²FR⁻¹] 就沒有了位置變換，僅僅剩下的就是旋轉：

於是，我們就得到 公式 E：

[U², RF⁻¹D²FR⁻¹] = U²RF⁻¹D²FR⁻¹U²RF⁻¹D²FR⁻¹ = (v₁, v₀, v₂, v₀, v₀, v₀, v₀, v₀);

公式 E 分別 對 c₁ 和 c₃ 進行 逆時針 和 順時針 旋轉。

尋找稜塊的旋轉公式

M 和 U 分別執行4次會恢復，那麼 MU 執行四次，即，(MU)⁴ 是什麼呢？

我們神奇的發現：

(MU)⁴ = F⁻¹BLF⁻¹BDF⁻¹BRF⁻¹BU = (w₁, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₁, w₀, w₁)

即，(MU)⁴ 只對 e₁, e₂, e₁0, e₁₂ 旋轉；

同樣，(MU⁻¹)⁴ ：

(MU⁻¹)⁴ = F⁻¹BL⁻¹F⁻¹BD⁻¹F⁻¹BR⁻¹F⁻¹BU⁻¹ = (w₀, w₁, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₁, w₀, w₁)

即，(MU⁻¹)⁴ 只對 e₂, e3, e₁0, e₁₂ 旋轉；

因為 稜塊旋轉 2 次就等於沒有旋轉，於是 (MU)⁴ 和 (MU⁻¹)⁴ 的複合 結果 只對 e₁ 和 e₃ 進行旋轉，這就是 公式F：

(MU)⁴(MU⁻¹)⁴ = (w₁,w₀, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀)

可以驗證：

暴力搜索

兩輪換 稱為 對換

我們得到：

即，R⁻¹U⁻¹RURURU⁻¹R⁻¹U⁻¹ = (e₃ e₄ e₁₀)。然後 根據 性質2，利用 R² 將 這個 三輪換，換到同一個面上：

同樣，將開頭的 5 個 R 合併，就得到 和 公式D 類似的公式：

RU⁻¹RURURU⁻¹R⁻¹U⁻¹R² = (e₂ e₃ e₄)

對於旋轉來說，以上的分析，最少只能的道 兩個 角塊（或 稜塊）的旋轉，我們無法做到 僅僅旋轉 一個角塊（或 稜塊）。

上面，給定的公式都保證 角塊（或 稜塊）的旋轉 時，所有小塊位置不變，但 實際上，不一定需要這麼嚴格，我們可以允許 與旋轉小塊同處一個面 內 小塊的位置變換。通過暴力搜索，我們得到了

即，

RUR⁻¹URU²R⁻¹ = (c₁ c₃)(c₂ c₄)(e₁ e₂ e₄)(v₂, v₂, v₀, v₂, v₀, v₀, v₀, v₀);

以及，公式A：

即，

FRUR⁻¹U⁻¹F⁻¹ = (c₁ c₂)(c₃ c₄)(e₁ e₂ e₃)(v₀, v₂, v₁, v₀, v₀, v₀, v₀, v₀)(w₀, w₁, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀);

公式 AB 都是 只 改變 頂層 位置的 操作。

其實，公式A就是 F[R, U]F⁻¹，其中 [R, U]：

[R, U] 的功效是 (e₁ e₂ e₇) ，即，將 頂層稜塊 e₁ e₂ 和 中層 稜塊 e₇ 輪換，但副作用 (c₂ c₇) 變動了 底層。不過幸運的是，我們找到了 [F⁻¹, U⁻¹]：

[ F⁻¹, U⁻¹] 的功效 和 [R, U] 類似，而其副作也是 (c₂ c₇)。因為 (c₂ c₇)(c₂ c₇) = 1，所以 [U⁻¹, F⁻¹] 的 剛好可以抵消 [R, U] 的副作用。於是，我們就得到了 公式A的附帶公式：

[R, U] [ F⁻¹, U⁻¹] 和 [ F⁻¹, U⁻¹] [R, U]

功效分別是 (e₁ e₂ e₇ e₄ e₃) 和 (e₁ e₂ e₃ e₄ e₇)，即，將頂層的 四個稜塊 與 中層 的 稜塊 e₇ 輪轉。

在魔方數學原理的指導下，通過這種計算機暴力搜索的方式，我們還可以找到很多有用的公式，目前緊緊OLL公式就有 57 個，而更多的複雜公式幾百上千。

眾所周知的 ”七步公式還原法“（層先法） 就包括了從這些公式中選出來的 一組基礎公式（包括上面提到的 公式ABCD）。（七步公式還原法，已經有條友在回答中詳細介紹過了，我這裡就不累述了。）

不知不覺，已經寫了 5千餘字了。關於魔法群還有很多更深入的內容，例如：上帝數 等，由於篇幅有限，這裡不能一一展開，以後有機會再說。

（小石頭，數學水平有限，出錯在所難免，希望各位老師和同學批評指正。）

（補充 2019/10/30）

我將輔助工具的代碼放在這裡，以便想要自己試驗的條友複製粘貼。

運行環境：chrome 瀏覽器；

文件名：rc.html，包含代碼：

文件名：rc2.html，包含代碼：

關鍵字: 由厄爾 魔方 魯比