提要
裂項法的實質是將數列中的每項(通項) 分解,然後重新組合,使之消去一些項,最終達到求和的目的,是通項分解(裂項)倍數的關係。
知識全解
一.裂項法的概念
計算分數的加,減時,先將其中的一些分數做適當的拆分,使得其中一部分分數可以相互抵消,從而使計算簡化的方法,稱為裂項法。
裂項法的實質是將所給問題中的每項先分解,再組合,使之消去一些項,再求和。
二.裂項法的主要形式
熟悉上述形式可以幫助我們快速利用裂項法解決相關問題。
學法指導
類型1 整數裂項
例1 1×2+2×3+3×4+...+49×50=___
【解析】設S=1×2+2×3+3×4+...+49×50
1×2×3=1×2×3
2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3
3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4
......
49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50
3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+...+49×50×3
= 49×50×51
所以S=49×50×51÷3
=41650
類型2 分數裂項
鏈接中考
考點1 利用裂項法計算
例1 觀察下列等式
將以上3個等式兩邊分別相加得:
(2)直接寫出下列各式的計算結果:
(3)原式=
【點評】本題是裂項法計算典型問題,熟悉裂項法是解決問題的關鍵。
考點2 利用裂項法解分式方程
...
已知f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=14/15,求n的值
解得n=14
【點評】本題考查了利用裂項法求值,關鍵是將f(x)轉化為一般的式子計算。
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