姚岳飛
為什麼五個連續正整數能被120整除這個問題
①連續兩個正(或負)整數中必然有一個是2的倍數。
②連續三個正(或負)整數中必然有一個是3的倍數。
......
所以有：
公理1：連續n個正(或負)整數中，必然有一個是n的倍數。
根據公理1，可以得到：
推論：連續n個正(或負)整數的積，必然是n!的倍數。
可表示為：
n!丨n(n+1)(n+2)...(2n-1).
那麼，120就是5!，必然整除連續5個正整數
陳氏養生餅
先來看一個命題：
k 個連續正整數之積一定可以被 k!（k 的階乘） 整除，即，對於任意 非負整數 m 有 k! | (m+1)(m+2)...(m+k)。
證明：
(m+1)(m+2)...(m+k)
= 1×2×... ×m×(m+1)×(m+2)×...×(m+k) / (1×2×... ×m)
= (m+k)!/m!
= k! [(m+k)!/(m!k!)]
而從a 個元素中任意選取 b 個元素的 可能組合數 為：
C(a, b) = a!/((a-b)!b!) (b≤a)
令 a = m+k， b = k，則有：
C(m+k, k) = (m+k)!/((m+k-k)!k!) = (m+k)!/(m!k!)
因此有：
(m+1)(m+2)...(m+k) = k!C(m+k, k)
C(m+k, k) 即，從 m+k 個元素中任意選取 k 個元素的 可能組合數，它 一定是個 正整數，這就說明 k! 一定整除 k!C(m+k, k) 也就是 整除 (m+1)(m+2)...(m+k))，即，
k! | (m+1)(m+2)...(m+k)
得證
當命題中，k = 5 時，k! = 5×4×3×2×1 = 120，於是我們說：5個連續正整數之積必能被120整除。
此命題的常見結論是：
- 任意 3 個連續正整數的積都可以被6整除；
- 任意 2 個相鄰正整數的積都可以被2整除；
這大家估計都見過。
和上面結論1，相關聯的另一個命題是：如果正整數 m 的 各位數（十進制）之和 是 3 的倍數，則 m 可以被 3 整除。
證明：
設，B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，令，
m = aᵣ10ʳ + aᵣ₋₁10ʳ⁻¹ + ... + a₁10¹ + a₀，(aᵣ, aᵣ₋₁, ..., a₁, a₀ ∈ B)
則：
m = aᵣ(10ʳ-1) + aᵣ₋₁(10ʳ⁻¹-1) + ... + a₁(10¹-1) + (aᵣ + aᵣ₋₁ + ... + a₁ + a₀)
而對於 n = 1, 2, ..., r 有：
10ⁿ - 1 = 9×10ⁿ + 9×10ⁿ⁻¹ + ... + 9×10 + 9
顯然 3 | 10ⁿ - 1，於是：
3 | aᵣ(10ʳ-1) + aᵣ₋₁(10ʳ⁻¹-1) + ... + a₁(10¹-1)
進而 只需要保持：
3 | aᵣ + aᵣ₋₁ + ... + a₁ + a₀
即，
m 的 各位數之和 被 3 的整除（也就是：m 的 各位數之和 是 3 的倍數）
則，
3 | m
得證
根據證明過程，將上面命題將 3 替換為 9 同樣成立。
思考思考的動物
從1開始到n連續自然數平方求和公式：n(n+1)(2n+1)/6。這個公式在小學階段只要會靈活運用即可，不需要去了解公式推導過程，記憶這個公式也比較容易，第三項為前兩項和。本著知其然更要知其所以然，今天王老師帶大家瞭解下公式推導的方法。
公式推導
關於平方求和公式，推導方法還是很多，我選個最容易理解的吧。
① 公式推導模型~數形結合
三個相同三角形數列①②③。
數列① 1²，2²，3²，…n²排列
數列的數和即為所求。
→ ①繞三角形中心順時針旋轉120°得到②
→ ②順時針旋轉120°得到③。
② 觀察數列
三個三角形數列每個對應位置數字和都為2n+1。
如圖三種顏色圈之和。
我們只要求出每個三角形數列有多少位置，就有多少2n+1
→ 位置數：1+2+3+4+…+n
等差數列求和公式 → 位置數：(n+1)n÷2
3個三角形數列總和：n(n+1)(2n+1)/2
每個三角形數列和：n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+…+ n²=n(n+1)(2n+1)/6。
公式應用
你學會了嗎？做道練習題試下吧。歡迎評論區留下答案
①求：1²+2²+3²+…+ 20²
②求：2²+4²+6²+…+ 20²
經常用了
為什麼五個連續正整數能被120整除這個問題，前面的回答我這裡就不能重複了。我要用的是自己的最好的方法。
大家都知道，
①連續兩個正(或負)整數中必然有一個是2的倍數。
②連續三個正(或負)整數中必然有一個是3的倍數。
......
所以有：
公理1：連續n個正(或負)整數中，必然有一個是n的倍數。
根據公理1，可以得到：
推論：連續n個正(或負)整數的積，必然是n!的倍數。
可表示為：
n!丨n(n+1)(n+2)...(2n-1).
那麼，120就是5!，必然整除連續5個正整數。
大家看看，這個公理可以嗎？歡迎理論。
創新數
看看我的這個解釋是不是比較容易理解一點：
120=2x2x2x3x5
5個連續正整數，3，5的兩個因數一定存在，不成問題。
如果這5個連續正整數是由3個偶數，2個奇數組成，那麼2的因數已經有了3個，故結論成立；
如果這5個連續正整數是由2個偶數，3個奇數組成，那麼2的因數已經有了2個。不過，2個連續偶數，其中必有1個是4的倍數，這樣，2的因數一樣可以湊足3個，結論一樣成立。
注：連續偶數可以表述為2n，2x（n+1），其中n，n+1中必有一個為偶數。
我是誰誰是我誰是誰o
先看120的質因數分解：120=2*2*2*3*5。
五個連續整數至少有兩個偶數，其中一個必然是4的倍數，因此這兩個相鄰的偶數的乘積必然包含3個質因數2。這五個連續整數又至少包含一個3的倍數和一個5的倍數，因此它們的乘積至少包含一個質因數3和一個5。
綜上，五個連續整數的乘積至少包含三個質因數2、一個質因數3和一個質因數5，所以它能被120整除。
柳牧山
1*2*3*4*5
發現規律：
120=1*2*3*4*5
=(1*2*5)*(3*4)
=10*12
任何連續的5個正整數，必然有3*4的整數倍的數字或乘積；其它3個或4個數字中必然有5結尾的數字，另外必然有一個偶數結尾的數字，偶數*5必然是10的整數倍。
2*3*4*5*6
3*4*5*6*7
4*5*6*7*8
5*6*7*8*9
6*7*8*9*10
7*8*9*10*11
8*9*10*11*12
9*10*11*12*13
10*11*12*13*14
11*12*13*14*15
12*13*14*15*16
鐵馬度關山
這不就是組合排列公式嗎？
C(m,n)=P(m,n)/n!
當n=5時，C(m,5)=P(m,5)/5!=P(m,5)/5×4×3×2×1=P(m,5)/120
顯然，C是正整數，P是連續5個自然數的積，其實就是連續幾個自然數相乘必被其個數的階乘整除！
QuanSir2020一蓑煙雨
看了評論，沒那麼複雜。五個連續自然數中至少有個是3的倍數，有一個是5的倍數，而兩個連續偶數的積一定是8的倍數，3×5×8=120，結論:五個連續自然數的積一定是120的倍數。
曾經冰心1
任意5個連續正整數或者負整數 只要不跨越0的情況 必然會分別包含數字1 2 3 4 5的倍數 也就是乘積120的公倍數
