山東呼保義
蒙古帝國不是指一個國家，而是現在對元朝、欽察汗國、察合臺汗國、窩闊臺汗國、伊利汗國這些黃金家族共同建立起來的蒙古政權的統稱，所以按照這種說法，元朝只是“蒙古帝國”其中的一支政權，而由一代天驕成吉思汗建立起來的蒙古政權，正式的稱謂應該是大蒙古國，“蒙古帝國”在歷史上並不存在。
大蒙古國的迅速崛起
在公元1206年，孛兒只斤·鐵木真在漠北草原斡難河建立了大蒙古國，尊汗號為成吉思汗，大蒙古國建立之後，成吉思汗的勢力不斷壯大，開始不斷向外擴張，先滅了西遼，再西征中亞花剌子模，又滅了西夏，在成吉思汗統治時期，大蒙古國的勢力範圍東起渤海，西至今天的中亞土庫曼斯坦一代，公元1227年，成吉思汗在甘肅六盤山病逝，成吉思汗為大蒙古國的崛起奠定了基礎。
成吉思汗病逝後，大蒙古國又經過了拖雷，窩闊臺，·脫列哥那，貴由，海迷失，蒙哥，忽必烈，七位皇帝統治時期，他們繼承了成吉思汗的遺志，先後征服東亞各國，西征佔領了莫斯科，擊潰神聖羅馬帝國聯軍，佔領了阿拉伯帝國首都巴格達。蒙古帝國西征最遠時，一度到達了奧地利的維也納附近，唯一遺憾的是蒙古軍隊並沒有和當時的英國，法國軍隊交戰，否則歐洲的歷史很有可能被徹底的改變。
大蒙古國內戰分裂，忽必烈稱帝
公元1259年，蒙哥去世，這個時候他的弟弟忽必烈正在征討南宋，他的另外一個弟弟阿里不哥留守在蒙古本土，大蒙古國傳位和其它的朝代不太一樣，我們是偶爾有兄終弟及的現象，大多數是子承父業，而蒙古卻多是兄終弟及，這時手握精兵的忽必烈和駐守在蒙古的阿里不哥，為了爭奪汗位就產生了內訌，忽必烈先在開平召集支持自己的蒙古宗王稱汗，阿里不哥知道後，立刻在大蒙古國首都哈拉和林集會稱汗。隨後大蒙古國內部忽必烈和阿里不哥兩黨開始了長達四年的內戰，大蒙古國元氣大傷。
公元1264年，阿里不哥戰敗向忽必烈投降，被忽必烈幽禁致死。大蒙古國內亂雖然就此平息，但是忽必烈在和阿里不哥爭奪汗位時，為了能得到各位蒙古宗王的支持，他默認了蒙古宗王別兒哥、阿魯忽、旭烈兀對自己封地的統治權，這就讓大蒙古國從一個統一的帝國變成了分封制國家，這也是之後蒙古四大汗國的由來。平定內亂之後，公元1271年，忽必烈建國，國號“大元”，因為忽必烈是繼承蒙哥汗位的，所以元朝才是大蒙古國的正統血脈，而其他汗國在表面上，是屬於元朝的宗藩國，受元朝冊封。
在忽必烈建立元朝之後，蒙古的內訌並沒有徹底的結束，窩闊臺汗國，察合臺汗國，金帳汗國，因為不滿忽必烈的漢化統治，也有為了爭奪權力的原因，聯合起來與元朝交戰，因為元朝佔據著大半個亞洲，疆域比其他四個汗國加起來還大，在這樣的背景下經過數十年的戰亂，蒙古的紛爭總算是平定了下來，但是此時的蒙古已經沒有徵服世界的實力。
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玄坤文史
首先，所謂的"蒙古帝國"在歷史上沒有存在過。
“蒙古帝國”這個詞是現代人發明的，用來形容成吉思汗子孫（黃金家族）所建立的所有“汗國”的集合體。這是現代人強加給黃金家族子孫的一個概念。
無論是元朝（中央汗國）還是四大汗國，都不知道有一個“蒙古帝國”存在！所以，他們不會認為自己是蒙古帝國。
其次，當時蒙古人爭的事“大蒙古國”正統位置。
這個大蒙古國是成吉思汗建立的，在他死後就分崩離析了。建立元朝的忽必烈還和阿里不哥爭過“大蒙古國汗位”！兩人都在各自勢力支持下，舉行“忽裡勒臺大會”即位大汗，還打了四年。最終，忽必烈獲勝了，建立元上都和元大都。此時，忽必烈的元朝實行兩個國號：“大蒙古國”和“大元”，可以合稱為“大元大蒙古國”。忽必烈及是元朝皇帝，又是諸蒙古可汗中的大汗。而元朝是諸汗國中的大汗之國。
看出來了吧，元朝其實是“大蒙古國”的正統繼承人！其他四大汗國（欽察汗國、察合臺汗國、窩闊臺汗國、伊利汗國）也尊稱他為“宗主國”。但是，其他四大汗國和元朝並沒有真正的隸屬關係，處於獨立狀態。
綜上所述，元朝其實是“大蒙古國”的繼承人。之後，被明朝滅亡了（1402年，元臣鬼力赤篡奪政權建立韃靼，大蒙古國正式滅亡）。而“蒙古帝國”是現代人後加的概念，將蒙古人建立的政權（佔領過的地區）都納入進去。所以，按照現代人觀念，元朝只是“蒙古帝國”一部分。
但是，元朝自己並不知道“蒙古帝國”是什麼玩意，所以，沒有什麼“平級”“上下級”這一說。
舉個例子：幾千年後，有人按照人種顏色將黃種人佔領過的地方稱之為“黃國”。那麼，這個“黃國”跟中國有什麼上下級關係呢？一分錢關係沒有！
（文|勇戰王聊歷史）
勇戰王聊歷史
“蒙古帝國”是當時所有成吉思汗後代建立的國家，一起的合稱。而“元朝”是“蒙古帝國”的一部分，後來被其它幾個“汗國”尊為“宗主國”。
四大汗國。
在成吉思汗建立大蒙古國後，他分封諸子，這是“四大汗國”的早期的原型。在蒙哥死後，阿里不哥與忽必烈爭奪汗位，導致大蒙古國分裂，也就出現了“四大汗國”。
四大汗國有兩種說法，一種是包括元朝在內，即“元朝（或者稱為大汗汗國）”、察合臺汗國、伊兒汗國、金帳汗國（欽察汗國）。另一種說法是，除去元朝，有四個相對獨立的國家，分別是金帳汗國、伊兒汗國、察合臺汗國、窩闊臺汗國。
金帳汗國。
金帳汗國是成吉思汗長子朮赤這一支後代建立的，它的原型就是朮赤的封地，後來朮赤的次子拔都在這裡建立“金帳汗國”。
察合臺汗國。
察合臺汗國，是成吉思汗次子察合臺這一支後代建立的，原型是察合臺的封地。
窩闊臺汗國。
這是一個經常不被承認的汗國，因為這個汗國是窩闊臺一支的後代建立的，但是窩闊臺是大蒙古國的第二位大汗，他當大汗後封地也就沒了。這個汗國一直在跟忽必烈的元朝打仗，最終也是被滅了。
伊兒汗國。
這是個比較特別的汗國，他是成吉思汗幼子託雷一支後代建立的，建立這個國家的人叫旭烈兀。是忽必烈的親弟弟，兩人同父同母，旭烈兀與忽必烈、蒙哥、阿里不哥四人是親兄弟。
蒙哥在位的時候，派旭烈兀帶大軍西征，在蒙哥死後，阿里不哥與忽必烈爭奪大汗之位。旭烈兀知道後，就留在了波斯，在哪裡建立了“伊兒汗國”。
“元朝”。
元朝就不必多說了，這是忽必烈建立的，後來被其它汗國尊為“宗主國”。
所以，嚴格意義上來說“元朝”只是“蒙古帝國”的一部分。
【本文完】
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從理論上講，蒙古帝國與元帝國只有先後之別，沒有高下之分。
蒙古帝國（中央汗國）＝帝國本部＋東道諸王＋西道諸王（後建立四大汗國）
1206年，蒙古各部在斡難河畔召開大會公推鐵木真為大汗，標誌著大蒙古國的誕生。大汗就是蒙古帝國的最高首腦。不同於中原王朝的是，蒙古人對大汗之位歷來有幼子繼承的傳統，俗稱“幼子守灶”。
蒙古帝國時期成吉思汗和他的幼子拖雷掌握著中央汗國，成吉思汗將蒙古高原東部地區分封給了他的五個弟弟，將蒙古高原西部地區分封給了其他三個兒子，包括中央汗國在內，一共九個汗國，中央汗國是整個“黃金家族”的公產，歸歷代蒙古大汗所直轄。這就是黃金家族所謂的東道諸王和西道諸王的由來，也是蒙古帝國最初的基本架構。
隨著帝國版圖滾雪球般擴張，西道諸王先後建立起了四大汗國，即金帳汗國（又稱欽察汗國1219年-1502年）、察合臺汗國（1227年-1369年）、窩闊臺汗國（1225年-1309年）、伊利汗國（1256年-1388年）。諸王封地以外的其他地方如蒙古本部、中央漢地等由大汗直接管轄。而這種管轄其實已經侷限於政治層面的含義。
即便如此，大汗之位依然成為黃金家族成員爭奪的目標。相比於東道諸王，作為成吉思汗直系後裔的西道諸王對大汗之位要更感興趣。
成吉思汗（孛兒只斤·鐵木真）一共有後妃40多人，並同時冊立數位皇后，正妻孛兒帖地位最高，所以能繼承其汗位的只有孛兒帖的四個兒子，朮赤、察合臺、窩闊臺、拖雷。老大朮赤由於出生身份問題，不可能接班，察合臺脾氣比較暴躁，幼子拖雷太年輕，所以成吉思汗就選擇了性格寬厚仁慈並與各位兄弟都比較友好的的窩闊臺繼承汗。1227年成吉思汗病逝後，幼子拖雷監國攝政了2年，之後窩闊臺繼位蒙古大汗，拖雷將中央汗國交由窩闊臺直接統轄。
兩代四汗之爭一一忽必烈成為蒙古帝國最後一位大汗
1241年，窩闊臺病逝，遺詔由長孫失門列即位，但是乃馬真皇后私自隱藏遺詔，與其兄密謀私自攝政，5年後又立自己的兒子貴由為大汗。1248年，貴由暴死沒有立下遺詔，乃馬真皇后立窩闊臺孫子實勒們一同聽政。
1251年，拖雷長子蒙哥被推為蒙古大汗，遭到窩闊臺一系的子孫的反對，被蒙哥鎮壓，將窩闊臺汗國的封地分成了數塊。由於朮赤的兒子拔都對蒙哥繼承汗位的支持，在蒙哥在位期間，蒙古帝國的西部事實上是由拔都在統轄。
1259年，蒙哥病逝，遺留下三個弟弟：忽必烈、旭烈兀和阿里不哥，旭烈兀自1256年成為波斯汗（伊利汗國）後，由於遠離蒙古高原，而沒有爭奪大汗位。其四弟忽必烈與七弟阿里不哥開始爭奪汗位，同時察合臺系與窩闊臺系也蠢蠢欲動。當時蒙古帝國力量最強的三支力量是拖雷系的中央汗國、金帳汗國、伊利汗國，金帳汗國的拔都與伊利汗國的旭烈兀支持忽必烈，忽必烈於1264年擊敗阿里不哥最終奪得了汗位。
國號由“大蒙古國”改為“大元”忽必烈既是蒙古帝國最後一位大汗，也是元帝國第一任皇帝
忽必烈繼承汗位後許多蒙古貴族以忽必烈推行“行汗法”，違背蒙古傳統為由拒絕歸附忽必烈的中央汗國，1271年忽必烈將國號由“大蒙古國”改為“大元”，從大蒙古國皇帝變為大元皇帝，大元國號正式出現，忽必烈成為元朝首任皇帝。而蒙古帝國就在黃金家族的內訌中開始分裂。
忽必烈繼位後，把主要的精力用於漢地的治理，1272年，把蒙古帝國的首都從蒙古高原遷到了大都（北京），金帳汗國、察合臺汗國與窩闊臺汗國封地完全獨立，西道諸王只有伊利汗國從屬於元帝國（中央汗國），忽必烈去逝後，伊利汗國也成為獨立國家。四大汗國與元朝之間互不統屬，戰爭不斷，直到元成宗時期才再次承認元朝皇帝為大汗的宗主地位。
所以，從法理上講元帝國與蒙古帝國是一種繼承關係，其他四大汗國以及從它們分封出的汗國與元朝是從屬關係。
行者七王
這個有點複雜，因為“蒙古帝國”並非當時的稱呼，是後世對於成吉思汗建立政權的廣泛稱呼，這其中包括我們熟悉的元朝，還有金帳汗國、伊利汗國、察合臺汗國等。
如果以後世形成的“蒙古帝國”稱呼來看，元朝自然是屬於廣泛上“蒙古帝國”的一部分，也可以說是蒙古帝國的主體繼承者。
如果以當時來看，是並沒有蒙古帝國的，只有大蒙古國的，只不過後來隨著疆域越來越大，所以才形成了四大汗國。
以當時來看，元朝和大蒙古國有點類似於後金和大清的關係，大蒙古國就如同元朝前身一般。
當然因為有著四大汗國的存在，所以這個類似並不準確。因此宋安之個人認為，元朝與大蒙古國，不存在平級或者上下級的關係，而是一個繼承關係，等於是在大蒙古國的汗國體系之中，元朝是大蒙古國的主體繼承者，是大蒙古國衍生發展到一定程度上的必然結果。
當然這只是宋安之個人的看法，並非百分之百的正確，還望大家仁者見仁智者見智。
謝謝觀看宋安之獨家原創回答，歡迎吐槽、評論、關注～
宋安之
蒙古帝國存在的時間與元朝並不完全重合，這是沒大問題的，蒙古帝國在元朝建立以前就存在，只不過忽必烈的時候統一了黃河、長江流域的割據政權，建立了統一的國家。我們不能有狹隘的民族觀念，中國是一個多民族國家。還可以看到，無論是漢族還是少數民族掌權，中國的文化從來沒有斷絕過，我們說中國是世界上唯一沒有中斷的文明，就是這種史觀的表現。
元朝的時候的疆域是比今天要大，不能因為那時太大了就不承認它是中國了。那時的幾個汗國，如窩闊臺汗國，在今天新疆地區，這裡當然是中國領土。四大汗國雖然曾經敵對，後來還是承認了元是宗主國。
談史說魯
一、蒙古帝國的崛起
說起蒙古帝國，一直是東方民族的驕傲，她的騎兵、她的戰鬥力、她的勇武，特別是她的疆域，蒙古帝國是歷史上連續版圖最大的帝國，她橫跨歐亞大陸，巔峰時期國土面積達到3300萬平方公里，也就是說將近2個現在的俄羅斯那麼大。
北宋時期，蒙古只是當時契丹人統治的遼國治下的一個民族，且各部都分散在茫茫大草原，過著遊牧生活。其中有個部落，部落長叫也速該，機緣巧合他結果了他的世仇部落的老大——鐵木真兀格，為了紀念他的勝利，就給他的新出生的兒子取名鐵木真。不久之後，也速該在一次部落鬥爭中陣亡了，年輕的鐵木真肩負起了自己部落的生存使命。鐵木真，沒錯，就是“射鵰英雄傳”中的鐵木真，就是“一代天驕成吉思汗”的那個鐵木真，就是天賦異稟擁有著強大政治和軍事才能的那個鐵木真。
鐵木真統一蒙古後，把招納成吉思汗仇家的西遼、多年欺壓蒙古的金國，統統滅掉；把蒙古國頻頻主動示好、希望建立通商關係，卻殺掉蒙古商人和使者的花剌子模滅掉，征服花剌子模是蒙古的第一次西征；然後三番五次的揍西夏，最後手起刀落，滅了西夏，不過成吉思汗卻也死在了西夏。
雖然成吉思汗沒了，但蒙古帝國的征服偉業仍在繼續，同南宋聯合滅金後，新大汗窩闊臺組織了第二次西征，這一次直接打到了歐洲的匈牙利；第三次西征，主要目標是伊拉克、敘利亞等中亞地區；最後滅掉了南宋。
以上是蒙古帝國崛起、擴張、定版的一個基本脈絡，文本和實際時間略有先後出入。
二、元朝的誕生
不少人會把元朝直接等同於蒙古帝國，其實這是不夠嚴謹的。
蒙古攻打南宋的時候，當時的大汗蒙哥在攻打重慶釣魚城的時候被射死了。他有兩個弟弟，一個叫阿里不哥，一個叫忽必烈，阿里不哥當時正穩穩的待在蒙古準備接替大汗的位子，而追隨蒙哥攻打南宋的忽必烈也不是吃素的，倆人都覺著自己有實力、有資歷來坐大汗之位，所以忽必烈心急如焚，急匆匆趕回蒙古爭大汗之位，後來的結果大家就知道了，忽必烈成為了元朝的開國皇帝。這裡順帶提一下，通過忽必烈同阿里不哥爭奪大汗之位可以看出，為什麼元朝會在短短的四十年間更換了十來個皇帝，因為他們沒有確立一個固定的有章法的繼承製度，導致了元朝宮鬥內耗嚴重，成為其早早滅亡的一個原因。
三、元和蒙古帝國的關係
在忽必烈和阿里不哥爭奪汗位的過程中，不同的支持者出現了分裂，於是龐然大物蒙古帝國分裂為欽察汗國、窩闊臺汗國、伊爾汗國、察合臺汗國，還有元朝。其實元和蒙古帝國並沒有實際意義上的隸屬關係，因為彼時，蒙古帝國已經分裂，沒有統一的領袖、沒有統一的行政，蒙古帝國成為了民族意義上的一個抽象概念，前期可以認為存在一個蒙古帝國，而隨著四大汗國的分裂，蒙古帝國也就不復存在了。
文史墨客
大概相當於晉之乎於周氏的概念。。。
Khargha
對成吉思汗和他的子孫來說，元只是地盤的一部分。在龐大的蒙古帝國版圖內，元只是四分之一。類似四兄弟分財產，一人一塊地盤
搬運工小張
一二六零年忽必烈採用中國傳統的王朝年號紀年新國號取易經大哉乾元的意義表示了國家的極其廣大元朝就是這麼來的
