海倫公式
古希臘數學家海倫建立的用三角形三邊的長度求面積的公式,公式如下
當三角形三邊長都為整數時,用海倫公式就會非常方便快捷,但是若三角形三邊長都是無理數,帶根號的,那就無比難算。如下圖分析的一樣,大家可以試著去算一下:
三斜求積術
中國古人非常聰明,也發現了三角形面積的算法,在秦九韶的《數書九章》有以下文字:
問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,裡法三百步,欲知為田幾何?
答曰:三百一十五頃
以小斜為冪,並大斜冪,減中斜冪,餘半子,自乘於上;以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,為實;一為從隅,開平方得積。
秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜,中斜、大斜。術即為方法,三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方,減中斜平方,取餘數的一半的平方,而得一個數。小斜平方乘以大斜平方,減上面所得到的那個數。相乘後餘數被4除,所得的數作為實。作1為為隅,開平方後即得面積。
若用三斜求積術的話,那上述問題可以順利快速的解決。
海倫公式與三斜求積術本質是一樣的,它們是可以相互推導的。
推導如下:
公式的證明,有很多,可以通過初中的勾股定理來證明,三角形的內切圓的相關性質來證明,也可以通過高中的向量法來證明,也可由高中階段的餘弦定理來證明,可謂方法眾多,大家可以繼續往下了解。
方法一:通過勾股定理來證明
證明的核心在於建立邊之間的關係,同學們在推導時,要注意此證明中的方程的解法,一般採用代入法或者消元法來求解,對同學們的要求還是比較高的。
方法二:通過三角形內切圓來證明
證明的核心在於內切圓與角、面積之間的關係。利用內切圓可以用兩種方式來求三角形的面積,由此建立等量關係,最後可以整理出海倫公式,同學們在整理時需要耐心一點,這些轉化過程還是比較麻煩的。
方法三:通過平面向量來證明
證明的核心在於向量與長度的轉化。向量的數量積包括外積與內積,在高中階段同學們可能只有內積,同學在在理解時可以先去了解一下外積的算法。
方法四:通過餘弦定理來證明
證明的核心在於餘弦值的表達方式。通過餘弦定理推導,非常簡當。
海倫公式雖然是三角形面積公式,但是它的應用不只是求三角形的面積,很多時候如果能用到此公式,那對三角形面積的最大值或者最小值的求解非常有幫助。
應用1
應用2
應用3
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