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分割法
▌例1:將兩個相等的長方形重合在一起,求組合圖形的面積。(單位:釐米)
解:將圖形分割成兩個全等的梯形。
S組=(7-2+7)×2÷2×2=24(平方釐米)
▌例2:下列兩個正方形邊長分別為8釐米和5釐米,求陰影部分面積。
解:將圖形分割成3個三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+(8-5)×5÷2=12.5+20+7.5=38(平方釐米)
▌例3:左圖中兩個正方形邊長分別為8釐米和6釐米。求陰影部分面積。
解:將陰影部分分割成兩個三角形。
S陰=8×(8+6)÷2+8×6÷2=56+24=80(平方釐米)
添輔助線
▌例1:已知正方形邊長4釐米,A、B、C、D是正方形邊上的中點,P是任意一點。求陰影部分面積。
解:從P點向4個定點添輔助線,由此看出,陰影部分面積和空白部分面積相等。
S陰=4×4÷2=8(平方釐米)
▌例2:將下圖平行四邊形分成三角形和梯形兩部分,它們面積相差40平方釐米,平行四邊形底20.4釐米,高8釐米。梯形下底是多少釐米?
解:因為添一條輔助線平行於三角形一條邊,發現40平方釐米是一個平行四邊形。所以梯形下底:40÷8=5(釐米)
▌例3:平行四邊形的面積是48平方釐米,BC分別是這個平行四邊形相鄰兩條邊的中點,連接A、B、C得到4個三角形。求陰影部分的面積。
解:如果連接平行四邊形各條邊上的中點,可以看出空白部分佔了整個平行四邊形的八分之五,陰影部分佔了八分之三。
S陰=48÷8×3=18(平方釐米)
倍比法
▌例1:已知OC=2AO,SABO=2㎡,求梯形ABCD的面積。
解:因為OC=2AO,所以SBOC=2×2=4(㎡)
SDOC=4×2=8(㎡)
SABCD=2+4×2+8=18(㎡)
▌例2:已知S陰=8.75㎡,求下圖梯形的面積。
解:因為7.5÷2.5=3(倍)
所以S空=3S陰
S=8.75×(3+1)=35(㎡)
▌例3:下圖AB是AD的3倍,AC是AE的5倍,那麼三角形ABC的面積是三角形ADE的多少倍?
解:設三角形ABE面積為1個單位。
則SABE=1×3=3 SABC=3×5=15
15÷3=5
所以三角形ABC的面積是三角形ADE的5倍。
割補平移
▌例1:已知S陰=20㎡,EF為中位線求梯形ABCD的面積。
解:沿著中位線分割平移,將原圖轉化成一個平行四邊形。從圖中看出,陰影部分面積是平行四邊形面積一半的一半。SABCD=20×2×2=80(㎡)
▌例2:求下圖面積(單位釐米)。
解1:S組=S平行四邊形=10×(5+5)=100(平方釐米)
解2:S組=S平行四邊形=S長方形=5×(10+10)=100(平方釐米)
▌例3:把一個長方形的長和寬分別增加2釐米,面積增加24平方釐米。求原長方形的周長。
解:C=(24÷2-2)×2=20(釐米)
等量代換
▌例1:已知AB平行於EC,求陰影部分面積。
解:因為AB//EC
所以S△AOE=S△BOC
則S陰=0.5S=10×8÷2=40(㎡)
▌例2:下圖兩個正方形邊長分別是6分米、4分米。求陰影部分面積。
解:因為S1+S2=S3+S2=6×4÷2
所以S1=S3
則S陰=6×6÷2=18(平方分米)
▌例3:已知三角形ABC的面積等於三角形AED的面積(形狀大小都相同),它們重疊在一起,比較三角形BDF和三角形CEF的面積大小。(C)
A 三角形DBF大
B 三角形CEF大
C 兩個三角形一樣大D無法比較(因為S等量減S等量,等差不變)
等腰直角三角形
▌例1:已知長方形周長為22釐米,長7釐米,求陰影部分面積。
解:b=22÷2-7=4(釐米)
S陰=(7+(7-4))×4÷2=20(平方釐米)
或S陰=7×4-4×4÷2=20(平方釐米)
▌例2:已知下列兩個等腰直角三角形,直角邊分別是10釐米和6釐米。求陰影部分的面積。
解:10-6=4(釐米) 6-4=2(釐米)
S陰=(6+2)×4÷2=16(釐米)
▌例3:下圖長方形長9釐米,寬6釐米,求陰影部分面積。
解:三角形BCE是等腰三角形
FD=ED=9-6=3(釐米)
S陰=(9+3)×6÷2=36(平方釐米)
或S陰=9×9÷2+3×3÷2=36(平方釐米)
擴倍、縮倍法
▌例1:如圖正方形面積是32平方釐米,直角三角形中的短直角邊是長直角邊的四分之一,三角形面積是多少平方釐米?
解:將正方形面積擴大2倍為64平方釐米,64=8×8則a=8(釐米),b=8÷4=2(釐米)
那麼,S=8×2÷2=8(平方釐米)
▌例2:求左下圖的面積(單位:米)。
解:將原圖擴大兩倍成長方形,求出長方形的面積後再縮小兩倍,就是原圖形面積。
S=(40+30)×30÷2=1050(平方米)
▌例3:左圖中每個小方格都是面積為3平方釐米的正方形。求陰影部分面積。
解:先將3平方釐米縮小3倍,成1平方釐米。面積是1平方釐米的正方形邊長是1釐米。將圖形分割成兩個三角形,S=3×2÷2+3×1÷2=4.5(平方釐米)
代數法
▌例1:圖中三角形甲的面積比乙的面積少8平方釐米,AB=8cm,CE=6cm。求三角形甲和三角形乙的面積各是多少?
解:設AD長尾Xcm。再設DF長尾Ycm。
8X+8=8(6+X)÷2
X=4
4Y÷2+8=6(8-Y)÷2
Y=3.2
S甲=4×3.0÷2=6.4(c㎡)
S乙=6.4+8+14.4(c㎡)
▌例2:左圖所示,AF=12,ED=10,BE=8,CF=6(單位:釐米)求四邊形ABCD的面積是多少平方釐米?
解:AE-FD=2(釐米)
設FD長X釐米,則AE長(X+2)釐米。
SABCD=8(X+2)÷2+6X÷2+(8+6)(10-X)÷2=4X+8+3X+70-7X=78(平方釐米)
▌例3:下圖是一個等腰三角形,它的腰長是20釐米,面積是144平方釐米。在底邊上任取一點向兩腰作垂線,得a和b,求a+b的和。
解:過頂點連接a、b的交點。
20b÷2+20a÷2=144
10a+10b=144
a+b=14.4
看外高
▌例1:下圖兩個正方形的邊長分別是6釐米和3釐米,求陰影部分的面積。
解:從左上角向右下角添條輔助線,將S陰看成兩個鈍角三角形。(鈍角三角形有兩條外高)
S陰=S△+S△
=3×(6+3)÷2+3×6÷2
=22.5(平方釐米)
▌例2:下圖長方形長10釐米,寬7釐米,求陰影部分面積。
解:陰影部分是一個平行四邊形。與底邊2釐米對應的高是10釐米。
S陰=10×2=20(平方釐米)
▌例3:正方形ABCD的邊長是18釐米,CE=2DE
(1)求三角形CEF的面積
(2)求DF的長度
解:BDF是一個鈍角三角形,EFC也是一個鈍角三角形
EC=18÷(2+1)×2=12(釐米)
(1)S CEF=18×18÷2-12×18÷2=54(平方釐米)
(2)DF=54×2÷12=9(釐米)
概念法
▌例1:已知正方形邊長4釐米,A、B、C、D是正方形邊上的中點,P是任意一點。求陰影部分面積。
解:因為三角形兩條直角邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三條邊,所以這個三角形的兩條直角邊分別為4釐米和6釐米。S=4×6÷2=12(平方釐米)
▌例2:已知正方形邊長4釐米,A、B、C、D是正方形邊上的中點,P是任意一點。求陰影部分面積。
解:因為菱形的兩條對角線互相垂直,所以斜邊5釐米只能作為菱形的邊長。
C=5×4=20(釐米)
S=4×3÷2×4=24(平方釐米)
▌例3:已知正方形邊長4釐米,A、B、C、D是正方形邊上的中點,P是任意一點。求陰影部分面積。
解:因為在平行四邊形中,高是一組對邊間的距離,必定小於另一組對邊的長度,所以高4.2釐米所對應的底只能是3釐米的邊。
S=3×4.2=12.6(平方釐米)
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