在數學的歷史上，有過三次比較重大的危機，第一次是關於無理數的，這次危機把畢達哥拉斯的數學王朝推翻，第二次數學危機是關於微積分的，是常識跟數學之間的契合的問題；第三次數學危機發生在二十世紀初，這次危機涉及到了數學中最基礎的大廈，差點把整個數學理論推翻重來。下面我來跟大夥聊聊這三次有意思的事件。
第一次數學危機發生在公元前500年左右，我感覺跟精確度有關，我們平時用到的數學知識，幾乎都只要精確到一定程度就可以了，所以古希臘畢達哥拉斯學派認為，任何一個數都能用a/b的形式來表示，其中a和b都是整數，這些數在數學上有個專有名詞叫有理數。但是有一天，有個叫希帕索斯的學者發現，好像不是這麼回事，他作了一個這樣的假設，就是等腰直角三角形，如果直邊都為1，那麼它的斜邊(√2)就不滿足這個條件。這個證明起來其實很簡單，但是對於當時著了迷的畢達哥拉斯派學者來說，這完全不能接受，就好像發現自己一直深愛的很純潔的美女是綠茶妹一樣，這些氣急敗壞的學者們最後把希帕索斯扔到海里面去了。這就是典型的學術迫害啊。
紙當然是包不住火的，死了一個希帕索斯，自然會有更多的學者發現√2，√3，√5；第一次數學危機使得純代數的地位下降，幾何學的地位上升，因為幾何量不能完全由有理數來表示，但數卻完全可以用幾何量來表示，從而形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，這兩個體系在經典數學中就有點相牛頓的三大定律。正是因為這次危機，使得東西方數學體系完全走向不同的路，像中國這樣的大國，因為沒有這次數學危機，就沒能完全形成真正的數學體系，儘管很多方面表現得很優秀。
第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲共同發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如反掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。他提出以個悖論：
從微積分的推導中我們可以看到，△x在作為分母時不為零，但是在最後的公式中又等於零，這種矛盾的結果是災難性的，很長一段時間內數學家都找不到解決辦法。直到微積分發明100多年後，法國數學家柯西用極限定義了無窮小量，才徹底解決了這個問題。
柯西
第三次數學危機發生在十九世紀下半部分，第一男主角是群論（集合論）的創立者康托爾，第一反派是大數學家羅素。
康托爾
羅素
集合論真的很牛，但也很簡單，記得我第一次看集合論的時候，被它的簡單，但功能強大完全驚呆了。像證明自然數和奇數一樣多，就是構建兩個無窮集合A（自然數），B（奇數）（自然數跟奇數都是無窮集合的），A中任何一個數n都能在B中找到對應的2n+1,反之亦成立，所以A=B。要是用其它數學理論去證明，這得多複雜，但集合論，就這麼簡單完美地解決了。
但是正當集合論在學術界中影響越來越大時，一個很簡單的悖論卻差點把它推向了墳墓，通俗點表述這個悖論就是，一個理髮師說他只給不給自己理髮的人理髮，那他是否應該給自己理髮？如果他給自己理髮，那麼他就違背了自己的原則，因為他只給不給自己理髮的人理髮，但如果他不給自己理髮，那他也會違背自己的原則。
第三次危機涉及到了數學理論中最根本的東西，他引發了數學界對最基本的數學原理去進行深入的研究，危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。
成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，一是以羅素為代表的邏輯主義學派。二是以布勞威爾（D.Brouwer）為代表的直覺主義學派。三是以希爾伯特為代表的形式主義。而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。
閱讀更多 Maths小妙招 的文章
