幾何一統天下
早在2000多年前的古希臘米諾斯文明時期，數學就已經開始慢慢發展，那個時候誕生了一個叫畢達哥拉斯的學派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體，以「萬物皆數」作為信條，將數學理論從具體的事物中抽象出來，予數學以特殊獨立的地位。
這個學派最為我們所熟知的就是發現了勾股定理，而這個時候，畢達哥拉斯學派的一位成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。
這個發現直接違背了畢達哥拉斯學派“一切數均可表成整數或整數之比”的信仰，所以他們稱呼無理數為“阿洛貢”，這個詞的含義是“不可說”。上帝創造的和諧的宇宙竟然出現了無法解釋的破綻，此事應絕對保密，以免他因事情暴露而把憤怒發洩到人類身上，由此，希帕索斯被丟進了大海。
後來，畢達哥拉斯學派嘗試對此進行補救，畢達哥拉斯學派的歐多克索斯嘗試通過給比例下新定義的方法來進行補救。
他首先引入“量”的概念，將“量”和“數”區別開來．用現代的術語來說，他的“量”指的是“連續量”，如長度、面積、重量等，而“數”是“離散的”，僅限於有理數。其次改變“比”的定義：“比”是同類量之間的大小關係．如果一個量加大若干倍之後就可以大於另一個量，則說這兩個量有一個“比”．這個定義含蓄地把零排除在可比量之外。
歐多克索斯理論是建築在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數作為數來處理．儘管如此，歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎．為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發展．從他之後，幾何學成了希臘數學的主流。
相比於畢達哥拉斯學派的自我催眠，歐幾里得直接從數學角度證明了的確存在這樣的一類數字，向人們揭示了有理數系的缺陷，於是，古希臘人不得不接受除了整數和分數外還存在另外的數，由於對這種“怪數”的接受很不情願，於是就給它起了難聽的名字—無理數。
自此之後，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統（指連續不斷的數集）的設想徹底地破滅了。
在歐幾里得以幾何為基礎的主張中，古希臘人發展了邏輯思想並加深了對數學抽象性、理想化等本質特徵的認識。
拉斐爾重現古希臘數學與藝術的輝煌
而歐幾里得、阿基米德等人不僅總結了以前全部幾何學知識，還建立起第一個幾何公理系統（歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統）。撰寫了《幾何原本》一書。這無疑是數學思想上的一次巨大革命，古典邏輯與歐氏幾何就是第一次危機的產物。
此後，幾何在2000多年的數學史上一直佔據統治地位。而數學家也一直刻意迴避無理數的出現，牛頓創立微積分也是通過幾何來求證，而實數體系的重建工作被長期擱置，也影響了數學的發展。
牛頓微積分引發危機
1665 年 5 月 20 日,這是數學史極具意義的一天，偉大的物理學家牛頓第一次提出“流數術”（微分法），而到了 1666 年 5 月又提出了“反流數術”(積分法),這標誌著微積分的創立。而後來萊布尼茨也獨立地創立了微積分理論，牛頓、萊布尼茨的微積分理論在數學史上具有重大的意義。
然而牛頓的微積分卻出現了嚴重的缺陷，牛頓對導數的定義並不太嚴密，比如說 x2 的導數,先將 x 取一個不為0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,後再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最後突然令 Δx = 0 ,求得導數為 2x 。我們知道這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設Δx是不為0的，而在論證的後一部分又被取為0。那麼到底是不是0呢？牛頓後來也未能自圓其說。
牛頓受笛卡爾解析幾何影響很大
這就引發了一個問題，無窮小量究竟是否為0，無窮小量在當時實際應用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無疑是一個矛盾。因為牛頓在對導數定義的時候，並沒有對這個做出合理的解釋，儘管它的結果是對的。
基督教主教貝克萊發現了微積分的漏洞之後，出自對科學的厭惡和對宗教的維護，他以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題特別特別長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文,其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達,或更明顯的推理》，對牛頓的微積分進行攻擊，引起數學界一片譁然。
克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。不僅差點推翻了微積分理論，甚至要顛覆整個現有的數學體系。
牛頓、歐拉等儘管都想嘗試對這個缺陷做出補救，但是因為實數體系的不完善，最終還是沒有從根本上解決問題。
1821 年，卓越的法國數學家A.L.柯西出版了著作《分析教程》中認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，並且定義了導數和積分。成功的用現代極限理論來說明導數的本質。他將導數明確定義如下：
“現代分析學之父”魏爾斯特拉斯又用了“ε-δ”語言一舉克服了“lim困難”，他將極限定義如下：設函數f（x）在x0的某個“去心領域”內有定義，則任意給定一個ε大於0，存在一個δ大於0，使得當
時，不等式
成立；則稱A是函數f（x）當x趨近於x0時的極限，記成
維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。極限理論的創立使得微積分從此建立在一個嚴密的分析基礎之上。
這個時候，就急需一個完備的實數體系框架作為支撐。
種種危機之下，分析算術化運動在醞釀爆發
除了幾何佔據統治地位，代數無法獨立，以及牛頓微積分所呈現的極限問題之外，虛數如何解決也是當時一個頭疼的問題。
塔塔利亞曾提出了著名的缺項三次方程求根公式。
缺項三次方程就是缺少 2 次項的方程，我們現在也叫一元三次方程，所以它也就是關於一次三次方程的解法公式。當時塔塔利亞只給出了一個解。但其實有三個解。
而在另外兩個解中，兩個兩次根號下面卻可能得到一個負值。因為它的三個解如下：
它得出的判別式是：
判別式的給定範圍不同，得出的結果也就不同。其中當：
時，就會得到一個實根，而另外兩個利用長除法得到的解則需要對負數開根號。然而在那個時候，對負數開根號對數學家來說是不可能的，所以他們就認為當它大於 0 的時候，其實就只有一個解。
後來，卡爾達諾在其著作《大術》中記錄了塔塔利亞的缺項三次方程求根公式。並且提出了最早的虛數符號： 1545R15-15m ，但他認為這僅僅是個形式表示而已，並沒有任何意義。
有史以來第一位把自己算死的數學家
卡爾達諾在書中還探討是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等於40時，他把答案寫成
儘管做出了這些嘗試，但卡爾達諾仍然認為這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的。
笛卡爾手裡，在其《幾何學》中第一次給出“虛數”的名稱，並和“實數”相對應。因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字，所以笛卡爾對提出這個名稱。
不過，雖然笛卡爾提出虛數這一概念，一些數學家也開始接受虛數，但對於數學界來說還是新事物，加上當時沒有成熟知識系統，因此也引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。
再加上的確沒有什麼地方可以使用到虛數，而且也沒有什麼實際用處，所以在很長時間，虛數都處於一個非常尷尬的位置。
萊布尼茨就曾說到：虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。後來，一向擅長創造符號的歐拉，他在《微分公式》一文中歐拉首創了用符號 i 作為虛數的單位，第一次用 i 來表示-1的平方根。
這個時候就需要給虛數一個明確的地位了，他在“數”的體系中應該怎麼樣去歸類，在這種種因素情況下，數學大廈被幾何所籠罩，正搖搖欲墜，分析算術化運動正在醞釀爆發。
分析算術化運動的到來
這個時候，不可微函數成為了“分析算術化”運動的導火索。
十九世紀下半葉，因為歐幾里得的以幾何為基礎的主張，人們還把函數的概念和作為動點運動軌道的曲線的幾何概念聯繫在一起。 由於動點必須經過它的軌道上任兩點之間的每一個點, 因此曲線是連續的; 又因為動點在它的軌道上的每一點都有確定的運動方向,因此曲線在每一點處都有切線。
正是出於這種直觀的考慮, 當時的數學家相信, 連續性是可微性的充分條件。當時幾乎所有的數學家都相信“任何連續函數除個別點外都是可微的”, 甚至象高斯、 柯西和狄利克雷這樣傑出的數學家, 也從未在其著作中提到他們對此持不同意見。
當德國數學家維爾斯特拉斯於 1861 年給出了一個處處不可微的函數時，震驚了整個數學界。這個函數如下：
維爾斯特拉斯的處處不可微函數使得人們進一步感覺到需要徹底擺脫幾何直覺的依賴，重新考察分析基礎，數學分析的進一步發展需要進一步有邏輯嚴謹的實數理論作為其基礎，再加上當時微積分已經誕生，微積分計算必須根植於實數園地，而這個時候數學界還沒有給實數下一個明確的定義，人們這個時候才不得不開始解決有理數這個一直被迴避的存在。
所以魏爾斯特拉斯等人發起了“分析算術化”運動，想要解決由無理數引發的持續2000年的數學危機。魏爾斯特拉斯認為實數是全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數歸結為整數(有理數)。這樣，分析的所有概念便可由整數導出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補。這就是所謂“分析算術化”綱領。
在魏爾斯特拉斯“分析算術化”運動的引領下，戴德金、康托爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實數理論。
1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，他將一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個元素小於集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，並將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割，在這裡面，戴德金從有理數擴展到實數，建立起無理數理論及連續性的純算術的定義。
戴德金分割定理推算過程
康托爾也通過有理數序列理論完成了同一目標，康托爾和戴德金都是將實數定義為有理數的某些類型的“集合”。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康托爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現代數學中都已成為典型的構造方法，被後人不斷推廣發展成為數學理論中的有力工具。
康托爾的有理數序列理論
維爾斯特拉斯發表了有界單調序列理論，有理數基本列是先假定實數的完備性，再根據有理數列的極限來定義有理數無理數。有很多有理數列，他們自己是基本列，但在有理數系內沒有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數時，則稱它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數或者收斂空了時，則稱它為無理基本列。有理基本列定義的是有理數，無理基本列定義的是無理數。
有界單調序列理論求證過程
實數的這三大派理論，從不同方面深刻揭示了無理數的本質，證明了實數系的完備性。實數的定義及其完備性的確立，標誌著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。這樣長期以來圍繞著實數概念的邏輯循環得以徹底消除。 使得2000多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了。
而這也將一系列數學上的漏洞得到根本性的解決，使“數”真正具有了表達一切量的可能，不僅是無理數，還使數的概念不斷擴大和發展。複數、四元數、超限數、理想數、非標準數等各種各樣的數都被創造出來了，從而讓代數、數學分析、函數等開始得到迅速發展。
可以說，分析算術化運動是數學史上最偉大的運動，它挽救了搖搖欲墜的數學大廈，為後來數學的發展奠定了基礎。
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