張量
導語
昨天，著名數學家阿蒂亞（Michael Atiyah）公開了他為黎曼猜想做的“簡潔證明”，論文長度總共5頁。藉助量子力學中的無量綱常數α（fine structure constant，阿提亞聲稱解決了複數域上的黎曼猜想。這個證明是否嚴格，還有待學界進一步的探討確認，但朋友啊已經炸開，一場全民普及黎曼猜想的運動正在如火如荼地進行著。
關注黎曼猜想的人無疑大多都是混跡數學圈的，或至少是數學愛好者，但我想說的是，其實金融、保險、幣圈的朋友更應該關注人類史上的這個數學重大難題！這是因為黎曼猜想其實與我們的日常生活，特別是股市漲落、金融海嘯、極端“黑天鵝”事件，甚至是區塊鏈賴以存在的底層技術都密切相關！因為現實世界中冪律分佈比比皆是，而冪律分佈卻能表達成廣義黎曼ζ函數，該函數又是黎曼猜想的核心。
所以，瞭解了ζ函數，我們就可以瞭解冪律分佈的一切性質。黎曼ζ函數的性質一旦被破解，我們就有可能找到馴服冪律分佈中“黑天鵝”事件的方法 。因此，金融圈的投資人可以制定符合冪律分佈的投資組合策略，保險公司也會因考慮到了黑天鵝效應而制定更加精準合理的保費。至於幣圈和鏈圈，他們的受益之處可能還不僅這些。畢竟，黎曼猜想的提出就是和素數分佈密切相關的，而素數分佈又與比特幣存在的基礎——RSA加密算法密切相關，因此，黑天鵝加RSA使得幣圈、鏈圈的朋友們更應關注黎曼猜想。
伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）
黎曼猜想與ζ函數
黎曼猜想的核心就是這個黎曼ζ函數，該函數定義為：
這是一個關於x的函數，只不過這個函數的定義是通過一個無窮級數給出的。只要給定一個x的數值，那麼，這個函數就像一臺機器一樣就會忠實地吐出一個數值出來。例如，我們可以計算x=2的數值：
而我們知道，這是著名的歐拉級數，它的結果為：
也就是：
黎曼猜想討論的是有關ζ函數的非平凡零點，這個我們不必管它。我們只需要知道，這個ζ函數非常厲害，有關素數的大量信息都蘊藏在黎曼ζ函數之中。如果我們能夠證明了黎曼猜想，我們就有可能解碼大量蘊藏在ζ函數中的信息，這些信息又可以告訴我們大量隱含在素數——這一自然中一切數的基本建築塊中的秘密。
黎曼ζ函數還有一個簡單的擴展形式，這也被人們稱為廣義黎曼ζ函數或Hurwitz ζ 函數，它可以寫為：
這裡的n為任意自然數。不難看出ζ(x,n)與黎曼的ζ(x)相比，少了前面的有限的n-1項。因此，如果我們能計算出ζ(x)，我們就可以通過減去前面的幾項而很容易計算出ζ(x,n)。另外，我們還可以把黎曼ζ函數寫為下面的形式：
所以，我們說這兩個函數幾乎等價，至少包含了相同的信息。
而不為人知的是，正是這個擴展ζ函數還蘊藏了冪律分佈中的所有信息，因為冪律分佈函數就可以表達為ζ函數。
冪律分佈
我們知道，冪律分佈是一種普遍存在於複雜系統中的概率分佈函數，例如財富分佈、收入分佈、城市規模分佈、企業規模分佈、地震規模分佈、社交網絡好友數的分佈等等，它們都是冪律分佈。
冪律分佈之所以非常重要一是因為它的普遍性；另一方面，冪律分佈具有正態分佈、指數分佈、均勻分佈等普通分佈完全不一樣的特性。
例如，當冪律指數小於2的時候，該隨機變量是不存在有限的方差的。這也就意味著我們無法控制這類隨機變量的風險。我們知道，當前股市崩盤的規模大小就滿足冪律分佈，因此這意味著，我們原則上根本就沒辦法正確地給風險定價。再比如，當冪律指數小於1的時候，該隨機變量就會甚至連均值都發散掉。難怪我們說，在冪律分佈的世界裡，用系統均值來代表總體行為是不恰當甚至是極其危險的。
更有趣的是，隨著互聯網的發展，冪律分佈在我們日常生活中所扮演的角色將會越來越多，越來越重要。這是因為，蔓延在我們身邊以及日常生活中的通信網絡已經將整個世界越來越緊密地聯繫到了一起，從而導致“馬太效應”更容易出現。任何一個小事件，都很容易在媒體和網絡的放大作用下成為一種影響人類社會整體的事件。這就是為什麼近年來總會有一些草根屌絲在網絡的放大下成為萬事矚目焦點的緣故。
而令人哭笑不得的是，儘管現實世界中冪律分佈比比皆是，傳統的金融業、保險業，甚至包括統計學卻對冪律分佈視而不見。所有的結論都是建立在正態分佈假說基礎之上的。
例如，在金融圈中大家為股票期權或其他的金融衍生物定價，用的標準模型就是Black-schole模型以及相應的變體，而這一模型賴以存在的基礎就是布朗運動，即價格的波動服從正態分佈——但現實情況並非如此。有人說，2008年金融危機之所以能夠引起全球範圍的金融海嘯，是與人們對Black-schole公式的濫用分不開的。人們將風險打包到了金融產品組合之中，但卻忽視了冪律分佈“魔鬼”的存在。所以，危機一旦被觸發就是全球性的。“黑天鵝”事件將比我們想象得更多、更嚴重。同樣的道理，建立在經典統計學、正態分佈前提下的保險行業也是不堪一擊。目睹最近山竹颱風給保險業帶來的高達數十億元的鉅額賠款，我們就可見一斑了。
人們之所以迴避冪律分佈的一個最重要原因就是我們對冪律分佈瞭解得太少，我們的數學對冪律毫無處理能力。當冪指數很小的時候，隨機變量甚至連均值和方差都有可能不存在，我們又應該如何來給金融衍生品定價呢？所以，大家就像是把腦袋扎進土裡的鴕鳥，處理不了怎麼辦？那我們就把它忽略掉吧。
然而，冪律分佈的一切特性其實都蘊含在了ζ函數中了，只要對ζ該函數的認識有了一點點增加，都更有可能讓我們馴服冪律分佈這隻怪獸。
ζ函數決定了冪律分佈的一切！
讓我們再回到數學。簡單說，所謂的冪律分佈就是指一個隨機變量的概率密度函數滿足冪律形式。讓我們以離散隨機變量為例（例如社交網絡上的好友數、一篇文章的點擊量、一家企業的員工數等等），其分佈函數可以寫為如下的形式：
(*)
其中，函數中的x=1,2,3,…。以社交網絡上的好友數分佈為例，這個分佈函數告訴我們在整個社交網絡上，好友數為x的節點數的比例為多少。α為冪律指數，會因不同的分佈而不同，一般情況下都會在1到3中取值。
Z(α)就是該冪律分佈的歸一化因子（注意，它是α的函數，而不是x的函數）。它的作用是使得這個分佈函數是一個合法的概率分佈！我們知道，任何概率分佈都要滿足歸一化條件，也就是所有的概率應該加起來等於1：
因此，我們將公式(*)代入，就會得到：
所以：
相信你一定會有一種似曾相識的感覺，沒錯，這不就是那個黎曼ζ函數嗎？
所以，只要當自變量x可以在所有自然數上取值的時候，冪律分佈的歸一化因子就與黎曼ζ函數嚴格相等。
更進一步，甚至冪律分佈都可以寫成廣義ζ函數的形式。我們知道，累積分佈函數與分佈函數表達了同等重要的信息，所以描述冪律分佈的另一種策略就是寫出它的累積概率分佈函數，即：
由此可見，只要瞭解了黎曼ζ函數，我們就可以寫出冪律分佈的累積分佈函數，從而知道冪律分佈的一切性質，包括均值、方差、任意階距等等。
利用ζ函數做冪指數的極大似然估計
下面，我們就展示如何通過ζ函數的計算，從一組真實的冪律分佈觀察數據中估計出冪律分佈指數出來。
假設給定一組觀測數據
，並假設它們滿足冪律分佈
。那麼，根據這一組數據，我們怎樣準確地估計出這個冪指數α呢？我們可以用極大似然估計的方法。即假設這N個樣本是從冪律分佈總體中隨機獨立地抽樣得到的，所以得到這組數據的概率就是：
於是，對數似然值為：
為了求得最似然的冪指數α估計值，我們應該讓概率
，也就是對數似然
最大。為此，我們只需要讓對α的偏導等於零：
由此，我們只需要求解：
從而得出具體的α。目前，人們除了數值求解該式尚無更好的辦法。但如果我們對黎曼ζ(α)函數的性質有了更多瞭解，是否就可以解析地求解這個方程呢？
更進一步，我們用極大似然估計方法計算得到的冪指數α的方差也可以計算出來，它滿足：
即運用黎曼ζ函數也能計算出估計得到的冪指數的漲落範圍大小。
由此可見，冪律分佈與黎曼ζ函數有著密切的關係。特別是，當冪律分佈的變量只能取自然數的時候，分佈的累積概率函數以及冪指數的極大似然估計都可以由黎曼ζ函數唯一地計算出來。
腦洞大開
我們知道，當年黎曼提出這個黎曼ζ函數的目的是
為了研究素數的分佈的。所謂的素數就是指那些除了1和它自身，不能被任何數整除的數，例如2、3、5、7、11，等等。素數被數學家們稱為自然數的基本建築磚塊，這是因為任何自然數都可以被分解為若干素數的乘積，例如2050=2*5*5*41。然而，任給一個大整數，要找到這些素數卻並不是一件特別容易的事情。於是，人們利用素數的這個特點發明瞭著名的RSA算法。這個算法的基本想法就是利用幾個大素數作為私鑰進行傳遞，而大素數乘積到一起的數值可以作為公鑰傳遞。這樣，如果竊聽者要想在不知道私鑰的前提下，通過監聽公鑰是很難獲得私鑰的。
但是，一旦我們對黎曼猜想獲得突破，那麼我們也許就可以準確地猜出什麼地方更有可能找到大素數，這就使得私鑰的破解變得超級簡單。到那天，整個全球安全體系就會崩潰了。
我們都知道，比特幣的構建就是基於RSA算法的。因此，如果該算法被破解，那麼我們就可以瘋狂地製造比特幣了，這將會導致全球幣圈的混亂。
再開一個腦洞。我們知道，黎曼猜想是有關黎曼ζ函數在複數域上的零點的。而我們關心的問題，特別是冪律分佈，那裡面的冪指數大多在實數里面取值。那麼，能不能將冪律分佈之中的冪指數進行拓展呢？把它擴充到複數域？複數域的冪律分佈又是什麼意思呢？
是不是存在著一些繞過複數封鎖的大門，讓我們得以窺見自然世界中冪律分佈的大門，讓我們徹底征服不確定性呢？
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