已知函數f（x）=xex﹣a（lnx+x）．
（1）若函數f（x）恆有兩個零點，求a的取值範圍；
（2）若對任意x＞0，恆有不等式f（x）≥1成立．
①求實數a的值；
②證明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．
考點分析：
導數在最大值、最小值問題中的應用；函數恆成立問題；不等式的證明．
題幹分析：
（1）利用導數的運算法則可得f′（x），對a分類討論，當a≤0時，f'（x）＞0，故f（x）單調遞增，捨去．當a＞0時，f'（x）=0有唯一解x=x0，此時ex0x0=a，求出極值，進而得出答案．
（2）①當a≤0時，不符合題意．當a＞0時，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令t=1/a，上式即轉化為lnt≥t﹣1，利用導數研究其單調性極值即可得出．
②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：∀x＞0，恆有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已經證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．對x分類討論，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．
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