高考數學：數列通項分奇偶項怎麼辦

有部分數列的通項公式根據腳標為奇數、偶數而有所不同，稱為數列的奇偶項問題，

解題過程中，通常要採用奇偶分析法，即對腳標的奇偶分類討論。

看2014年全國高考卷的一道數列題。

分析：題中給出的是通項與前n項和的關係。童鞋們對這種題型訓練的較多，基本的辦法就是利用二者的關係，把前n項

和消去，得到相鄰兩項或相鄰多項的關係。

從（1）問的結論中，我們能判斷數列為等差嗎？

顯然不能，因為等差數列要求後項減去前項是同一個常數，而上式中兩項的腳標相差2。

當然，我們可以這樣來看：第一項，第三項，第五項，...，即奇數項可看作等差數列；第二項，第四項，第六項，...即偶數項可看作等差數列。

但是，我們不能認為整個數列為等差數列。

第（2）為探索題.對於探索題的解法，通常我們先假設存在，用特殊項，比如利用前3項成等差，求出參數的值（這個過

程利用的是條件的必要性）；然後再驗證該參數的值的確使得該數列為等差數列（這個過程是證明條件的充分性）。

這種先用特殊法求值，再一般驗證的辦法，有利於減少探索時間，這在高考時間緊迫的情況下尤其顯得重要。

當然，解到這一步不算完，還要驗證.若入=4時數列不是等差數列，則不存在符合題意的入。

如何進行一般化的驗證呢？

證明數列為等差的途徑有以下幾個：

其中，1是定義法，4是中項法，我們在證明覆雜數列為等差或等比數列的方法，中項法證明等差數列中分別談到過。

2和3是定義法的拓展和延伸，2稱為通項判斷法，3稱為前n項和判斷法。

2和3分別試圖從通項和前n項和的形式上描述等差數列，當然方法2和3本質上依然是定義法。

結合第（1）問提供的結論，我們採用通項判斷法.為此需要研究數列的通項公式，為此需要採用奇偶分析法。

同樣的方法研究偶數項的通項公式：

我們看到，不管n為奇數還是偶數，通項公式的形式是相同的。

在採用奇偶分析法研究數列的通項時，我們採用了累加法.這個方法簡單易用，不容易犯錯。

當然，因為奇數項成等差，偶數項也成等差，你也可以利用等差數列的通項公式直接寫出奇數項和偶數項的通項公式，

前提是項數不要搞錯。

下面，思考一個一般化的問題：

請思考2分鐘，再往下看。

看下面的簡圖：

把等差數列的各項放在數軸上，那麼等差數列可理解為任意相鄰兩項的距離為定值（假設入>0）。可是，由題我們只能

確定間隔一項的兩項距離為定值，如何做到符合等差數列的要求呢？

其實也容易，如果我們使得第1項和第2項的距離為入/2，自然地，第2項和第3項的距離就為入/2，第3項和第4項的距離

也為入/2，依次往下，多米諾骨牌效應......

最後留這樣一道思考題：

你能完成嗎？