手拉手模型是最常见的一类证明全等或相似的重要数学模型，全等型手拉手模型主要有以下三个特征：
双等腰、共顶点、顶角相等 .
【模型解析】
模型一：等边三角形
△ABC 和 △CDE 均为等边三角形，点 C 为公共顶点，如下图：
结论：△ACE ≌ △BCD .
【例题1】如图，△ABD 与 △BCE 都是等边三角形，连接 AE 与 CD，延长 AE 交 CD 于点 F .
求证： AE = DC， ∠AFD = 60° .
证明：
∵ △ABD 与 △BCE 都是等边三角形，
∴ AB = DB , EB = CB , ∠ABD = ∠EBC = 60°，
又 ∵ ∠ABE + ∠EBD = ∠DBC + ∠EBD = 60°，
∴ ∠ABE = ∠DBC，
∴ △ABE ≌ △DBC（SAS），
∴ AE = DC ，∠EAB = CDB .
∵ ∠DAE + ∠EAB = ∠DAB = 60°，
∴ ∠DAE + ∠CDB = 60°，
∵ ∠AFC = ∠DAE + ∠ADB + ∠CDB = 60° + 60° = 120°，
∴ ∠AFD = 180° - ∠AFC = 180° - 120° = 60° .
模型二：等腰三角形
等腰 △ABC 和等腰 △CDE，点 C 是公共顶点，∠ACB = ∠DCE = a , 如下图：
结论：△ACD ≌ △BCE .
模型三：等腰直角三角形
等腰 Rt△AOB 和等腰 Rt△EOF，点 O 为公共顶点，如下图：AE = BF , AE⊥BF .
现将 △EOF 绕点 O 顺时针旋转一周，可以分为以下几种情况来考虑：
结论：
① 图二、三、五，当 A、O、F 三点不共线时， △AOE ≌ △BOF；
② 图一、四、六，△AOB ∽ △EOF；
③ 由图六可知，点 E、F 的运动轨迹是圆弧 （注意特殊位置的最值问题）.
模型四：正方形
正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，点 C 是公共顶点，如下图：
结论：△BCG ≌ △DCE .
【例题2】如图 ① 所示，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE , BG .
（1）发现：
① 线段 DE、BG 之间的数量关系是 DE = BG；
② 线段 DE、BG 之间的位置关系是 DE⊥BG；
（2）探究：
如图 ②，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【提示】（1）、（2）中，用手拉手模型证明三角形全等即可解题 .
【模型应用】
【例题3】如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 , BC = 4 , E 为 BC 上一点，且 BE = 1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45° 到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值是多少？
【解析】
如图，当 CG⊥B'G 时，此时 CG 最小 .
解法的实质就是构造了一个和 △BEF 全等、共顶点的三角形，或者说是将 △BEF 绕点 E 旋转了45°.
△FBE ≌ △GB'E ≌ △EOG，四边形 B'EOG 是矩形，∠B'EO = 90°，
从而可知 △EOC 是等腰直角三角形，OE = OC , ∠EOC = 90°，
由 EC = 3，可知 OC = 3√2/2，所以 CG = 1 + 3√2/2 .
【例题4】在正方形 ABCD 中，CD = 2 , 若点 P 满足 PD = 1，且 ∠BPD = 90°，
请直接写出点 A 到 BP 的距离为多少？
【解析】
其实点 P 的轨迹就是以点 D 为圆心，PD 长为半径的圆，∠BPD = 90°，可知 BP 与该圆相切 .
第一种情况：
如图所示，连接 AP , 过点 A 作 AF⊥AP，AE⊥BP，交 BP 于点 F，E .
可证：△ABF ≌ △ADP（ASA），
∴ FB = PD = 1 , AF = AP，
∴ △PAF 是等腰直角三角形 .
设 AE = EF = x , 在 Rt△AEB 中，由勾股定理可得：
AE2 = AB2 - BE2 , 即 x2 = 2^2 - （x + 1）2 ,
解得：x1 = （-1 + √7）/2 , x2 = （-1 - √7）/2 （舍去），
此时点 A 到 BP 的距离是 （-1 + √7）/2；
第二种情况：
如图所示，连接 AP，过点 A 作 AF⊥AP，交 PB 延长线于点 F，AE⊥BP，垂足为点 E .
可证：△ABF ≌ △ADP（ASA），
∴ FB = PD = 1 , AP = AF ,
∴ △PAF 是等腰直角三角形 .
设 AE = EF = x , 在 Rt△AEB 中，由勾股定理可得：
AE2 = AB2 - BE2 , 即 x2 = 2^2 - （x - 1）2 ,
解得：x1 = （1 + √7）/2 , x2 = （1 - √7）/2 （舍去）,
此时点 A 到 BP 的距离是 （1 + √7）/2 .
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