【分析方法導引】
當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。
若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。
若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
例8 如圖3-137，已知：△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是角平分線，E是BC的中點，EF⊥AD交AD、AB的延長線於F、G。求證：BD=2BG。
圖3-137
分析：由條件中出現EF是向角平分線AD所作的垂線，所以必定會構成一個等腰三角形的基本圖形。但目前這條角平分線的垂線尚未與角的邊AC相交，所以延長GE交AC於H，可得△AGF≌△AHF，AG=AH（如圖3-138）。
圖3-138
又因為條件中出現E是BC的中點，且BC、GH在E點相交，就出現了BE、CE這兩條相等線段是位於一組對頂角，即∠BEG和∠CEH的兩邊且成一直線，所以可添加中心對稱型的全等三角形進行證明，添加的方法是過端點作平行線，於是過B作BK∥AC交GH於K後，可得△BKE≌△CHE，BK=CH（如圖3-139）。而由BK∥AC，又可得△BGK∽△AGH，而AG=AH，所以BG=BK，從而可得BG=CH，這樣要證明的結論就成為BD=2CH。
圖3-139
現在要證明BD是CH的兩倍，就可以根據線段倍半關係的定義，將CH的兩倍作出後，證明所得的線段與BD相等。於是HA上截取HM=CH，問題就成為要證BD=CM（如圖3-140）。
圖3-140
又因為AM=AH-HM=AG-BG=AB，且AD是角平分線，所以AM和AB這兩條相等線段就關於這條角平分線成軸對稱，這樣就可以添加一對軸對稱型全等三角形進行證明。根據圖形的軸對稱性可以找到這一對三角形應是△ABD和△AMD，但△AMD尚未出現，所以應先連接MD（如圖3-140）。從而由AB=AM，∠BAD=∠MAD和AD=AD，就可證明△ABD≌△AMD，BD=DM，這樣問題又轉化為要證DM=CM。由於這是兩條具有公共端點M的相等線段，所以它們可以組成一個等腰三角形，問題也就成為一個等腰三角形的判定問題，且因為C、M、A成一直線，出現了這個要證明的等腰三角形的頂角的外角，所以問題可轉化成為要證DM=CM的等價性質∠AMD=2∠C。由條件∠ABC=2∠C，這樣問題又應證∠AMD=∠ABD，而這兩個角是全等三角形，即△AMD和△ABD的對應角，當然相等，所以分析可以完成。
由於本題要證明的結論BD=2BG是線段之間的倍半關係，所以也可以根據應用線段之間倍半關係的定義來開始進行分析。於是先將BG的兩倍作出，也就是延長BG到H使GH=BG，然後就證明BD=BH。由於這是兩條具有公共端點B的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，但這個等腰三角形只有兩條腰而沒有底邊，所以應將底邊添上，也就是聯結HD，這樣就成為一個等腰三角形的判定問題。由條件A、B、H成一直線，圖形中出現了這個等腰三角形的頂角的外角，所以要證明BD=BH，就可轉化為證它的等價性質∠ABD=2∠BHD，但由條件∠ABD=2∠ACB，從而只需證明∠BHD=∠ACB（如圖3-141）。
圖3-141
又因為條件中還給出E是BC的中點，且我們作出了G是BH的中點，這樣就出現了兩個中點，是多箇中點問題，就可以應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。由於G、E所在的線段有公共的端點B，可以組成三角形，所以GE就是三角形的中線，但現在圖形中是有中位線而三角形不完整，所以應將三角形的邊添上，於是聯結HC，即可得GE∥HC（如圖3-142）。再由條件GE⊥AD，又可推得HC⊥AD，根據垂線的定義，它們應相交成90°角，而現在HC與AD尚未相交，所以應將它們延長到相交，也就是延長AF交HC於K，就可得AK⊥HC（如圖3-142），由於AK是∠HAC的平分線，這樣就構成了角平分線和向角平分線所作垂線之間的組合關係，從而必定得到一個等腰三角形的基本圖形，而由角平分線的垂線HC與角的兩邊分別相交於H、C，即可找到這個等腰三角形應是△AHC，於是就可以由∠HAK=∠CAK、AK=AK，∠AKH=∠AKC=90°，推得△AHK≌△ACK，AH=AC。於是再由AH=AC，∠HAD=∠CAD和AD=AD，就可證明△AHD≌△ACD，∠AHD=∠ACD，分析也就可以完成。
圖3-142
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