04.09 中考數學中的存在型問題解題策略（一）

中考數學中的存在型問題解題策略

中考中的存在型問題大致有以下類型：

一、存在特殊圖形：

（1）存在等腰三角形；

（2）存在平行四邊形；

（3）存在直角三角形；

（4）存在直角梯形；

（5）存在正方形；

（6）存在菱形。

二、存在最大（小）值問題：

（1）存在線段的最大（小）值；

（2）存在面積最大（小）值；

（3）存在周長最大（小）值。

三、存在全等三角形

四、存在相似三角形

此類問題往往考察學生對分類討論思想、數形結合思想、方程思想等數學思想的把握；同時，考察學生的運算、推理等能力。

本文就存在特殊圖形中 的第一類——存在等腰三角形問題，談談如何突破此類問題與大家分享。

此類問題都有一個共性：三角形的頂點中 有兩個定點，第三個頂點是某條確定軌跡（比如在座標軸上、在拋物線上、在某條直線上）上的動點。如果直接在圖形中去尋找問題的可能性，可能會漏解，或感覺問題特複雜。不好入手。其實不用考慮那麼複雜，解答此類問題有一個萬能的方法：設出動點的座標，把三邊的長表示出來，然後分（1）a=b;(2)a=c;(3)b=c(這裡的a、b、c表示三角形的三邊)三種情況列方程。若方程有解就存在，無解就不存在。有幾個解就有幾種可能。

解

解

題

請看以下安順中考題：

1.2017安順中考第26題的第（2）題

分析：此題只要求寫出符合條件的點的座標，不寫解答過程。我們可以在圖上找出符合條件的點的位置，然後，利用對稱性寫出點的座標。但是，容易漏解，因為情形較多，不好想象。所以，我們採用上述的“萬能法”，設座標，列方程，解方程可保萬無一失。而且，此問題所列方程易於解出。

解：如圖，因為M在拋物線的對稱軸上，所以設M(2，m)。∵C（0,3）,P(2，-1)，則

（注意表示的是三角形三邊的平方）

分三種情況：

分別解以上三個方程即可求得點M的座標。方程的求解請讀者自己完成。

答案：

“萬能法”其實也並非萬能。有些問題如果你使用此法，可能會陷入困境。因為列出的方程不好解，或解不了。此時我們應該考慮圖形的直觀性。或利用對稱性直接給出解答.請看下面的例子

2.2013安順中考地26題的第（2）題

分析：第（1）題中拋物線的解析式是y=-x^2+2x+3.∴D(1，4).因而△CDP中C、D是定點。設出P點的座標，表示出三角形的三邊，然後列方程。

解：如圖，設P（x，y）（x＞1）（此條件用於對方程的根的取捨）

則

分三種情況:

其中

然而，方程（1）和（3），把y代入將會出現四次方程，根本解不了。此時，對於情形（1），結合圖形的直觀性（如圖1），由於點P位置的限定，CP不可能等於CD，所以，此情形不存在。而情形（3）我們可以對稱性直接給出點P的座標（如圖2）。情形（2）中的方程可以解，（因為兩邊的y平方可以抵消）。也只能解方程求點P的座標。（注意對方程的根進行取捨），解答留給讀者完成。

答案是：

所以，此題應運用“萬能法”與其它方法相結合。

總結

在二次函數背景下等腰三角形的存在問題。可用萬能法，或者用萬能與其它方法相結合。

（1）如果動點是在座標軸、拋物線的對稱軸、或其它直線上，則可直接應用萬能法，因為此種情況下列出的方程容易求解。

（2）如果動點是在拋物線上或其它曲線上，那麼，就要把萬能法與其他方法相結合。