如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。——龐加萊
一、數學的起源
數學作為一門有組織的、獨立的和理性的學科，在古希臘之前是不存在的。但在更早的一些原始文明社會中，有些已經發展出抽象的數的概念，並有相應的進制；有些知道四則運算和分數；也認識到最簡單的幾何概念如直線、圓和角。而數學的應用只限於簡單的交易、田地面積的粗略計算、陶器上的幾何圖案、織在布上的花格和計時等。
二、美索不達米亞文明
大約在公元前5000年，蘇美爾人在底格里斯河與幼發拉底河之間的美索不達米亞平原（今伊拉克的一部分）建立了人類最早的文明之一。巴比倫曾經征服美索不達米亞平原並創造了輝煌的文明。巴比倫人對數學進展有某些顯著影響，提供了經得起科學分析的知識核心。
三、巴比倫數學
巴比倫的數學傳統自蘇美爾文化到基督教創始。考古學家在19世紀上半葉於美索不達米亞發掘出大約50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板。其中有近400塊被鑑定為載有數字表和一批數學問題的純數學泥書板，現在關於巴比倫的數學知識就源於分析這些原始文獻。
他們的整數寫法如下，突出特點是以60為基底並採用進位記號。希臘人、歐洲人到16世紀亦將這一系統運用於數學計算和天文學計算中，直至現在，60進制仍被應用於角度、時間等記錄上。
巴比倫人懂得加減乘數，還有乘法表、倒數表、平方和平方根表、立方和立方根表。經常用到分數，也知道代數數列和幾何數列。
對於巴比倫令分數的分母為常數並等於60的原因，康托爾（19世紀德國數學家，集合論創立者）認為可能是：早期的巴比倫人認為一年共有360天，期間太陽圍繞地球轉了一圈。這就導致圓被分割為360度，每一度代表一天中太陽走過的距離。而等於圓半徑的弦可以繞圓周截6次，因此圓可分為6個扇形，每個扇形的中心角為60度。
巴比倫人知道二次方程根的公式，會計算面積和體積，還計算複利問題，其中需要求出一個未知的指數函數值。他們還懂一些數論和不定方程。
在公元前1900年～公元前1600年間的一塊泥板上(普林頓322號)，記錄了一個數表，經研究發現其中有兩組數分別是邊長為整數的直角三角形斜邊邊長和一個直角邊邊長，由此推出另一個直角邊邊長，亦即得出不定方程x2＋y2=z2的整數解。
（普林頓322號）
巴比倫人做出了世界上第一個輪子，說明他們知道圓。一塊被保存在耶魯大學的有著3800年曆史的石板上刻著古巴比倫早期發現的勾股定律，這甚至比著名古希臘數學家畢達哥拉斯和中國西周的商高更早發現了勾股定理。
但幾何對於巴比倫人是不重要的，相關計算都轉化為了代數問題。
在天文學方面，巴比倫人已有一系列長期進行研究的記錄（比如金星與太陽同升同落的現象），並且已經發現許多準確性很高的天文學週期（比如計算太陰月、預測日月食）。他們算出了夏至的時間，然後取等分定出冬至和春分、秋分的時間。
巴比倫的算術和代數步驟以及幾何法則都是根據物理事實、邊試邊改以及從直觀認識得出的結果。關於證明的想法，依據於決定取捨原則的邏輯結構的思想，以及問題的解在什麼條件下存在這些方面的考慮，在巴比倫的數學裡都是找不到的。
下一講古埃及的數學。
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